Superbohater wystrzeliwuje się ze szczytu budynku z prędkością 7,3 m / s pod kątem 25 powyżej poziomu. Jeśli budynek ma 17 m wysokości, jak daleko będzie podróżował poziomo, zanim dotrze do ziemi? Jaka jest jego końcowa prędkość?

Schemat tego wygląda tak:

Chciałbym tylko wymienić to, co wiem. Weźmiemy negatywny jak w dół i pozostawione jako pozytywne.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7,3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

CZĘŚĆ PIERWSZA: WNIOSEK

Chciałbym znaleźć tam, gdzie wierzchołek ma określić # Deltavecy #, a następnie pracować w scenariuszu swobodnego spadania. Zauważ, że na szczycie #vecv_f = 0 # ponieważ osoba zmienia kierunek dzięki przewadze grawitacji w zmniejszaniu pionowej składowej prędkości przez zero i do negatywów.

Jedno równanie obejmujące # vecv_i #, # vecv_f #, i # vecg # jest:

#bbb (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

gdzie mówimy #vecv_ (fy) = 0 # na szczycie.

Od #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # i #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # i to równanie rzeczywiście prosi nas o użycie #g <0 #.

Po części 1:

#color (niebieski) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = kolor (niebieski) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

gdzie #vecv_ (fy) = 0 # jest końcową prędkością dla części 1.

Przypomnij sobie, że prędkość pionowa ma # sintheta # komponent (narysuj trójkąt prawy i uzyskaj #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # związek).

#color (zielony) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Teraz mamy # Deltavecy # i wiemy to # vecv_y # zmienił kierunek, możemy przypuszczać swobodny spadek występuje.

The całkowita wysokość upadku jest #color (zielony) (h + Deltavecy) #. To jest coś, co możemy wykorzystać dla części 2.

dostaję # Deltavecy # na około # "0,485 m" # i #h + Deltavecy # na około #color (niebieski) („17.485 m”) #.

CZĘŚĆ DRUGA: BEZPŁATNA UPADEK

Możemy ponownie traktować # y # kierunek niezależnie od # x # kierunek, ponieważ #veca_x = 0 #.

Na szczycie przypomnij sobie to #color (zielony) (vecv_ (iy) = 0) #, która jest początkową prędkością dla części 2i była częściowo prędkością końcową 1. Teraz możemy użyć innego równania kinematyki 2D. Pamiętaj, że całkowita wysokość nie jest # Deltavecy # tutaj!

# Mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + cancel (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

Teraz możemy po prostu rozwiązać czas potrzebny na uderzenie w ziemię z wierzchołka.

#color (zielony) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = kolor (zielony) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2 teta) / (2g))) / g)) #

i oczywiście czas nie jest oczywiście negatywny, więc możemy zignorować negatywną odpowiedź.

… I tam dotrzemy.

CZĘŚĆ TRZECIA: ROZWIĄZANIE DLA ODLEGŁOŚCI W POZIOMIE

Możemy użyć tego samego równania kinematycznego, co poprzednio zbadane. Jedną z rzeczy, do których zmierzamy, jest # Deltax #, który jest:

#color (niebieski) (Deltax) = anuluj (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

I tak jak poprzednio, użyj relacji trig, aby uzyskać # x # składnik (# costheta #).

# = kolor (niebieski) (vecv_icostheta * t_ „Overall”)> 0 #

gdzie #t_ "ogólnie" # NIE jest tym, co dostaliśmy po części 2, ale będzie zawierać czas #t_ "leap" # przechodząc od budynku do wierzchołka lotu i #t_ "freefall" # które nabyliśmy wcześniej.

#Deltay = 1 / 2pkt „leap” ^ 2 + vecv_ (iy) t_ „leap” #

Z #Deltay ~~ "0,485 m" #. Gdy rozwiążemy to za pomocą równania kwadratowego, da to:

#t_ "leap" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0,3145 s" #

Uwzględnij czas uzyskany dla wierzchołka do ziemi i powinieneś przejść #color (niebieski) („2,20 s”) # na cały lot. Nazwijmy to #t_ "ogólnie" #.

#t_ "overall" = t_ "leap" + t_ "freefall" #

Za pomocą #t_ "ogólnie" #, Dostaję #color (niebieski) (Deltavecx ~~ "14,58 m") #.

CZĘŚĆ CZWARTA: ROZWIĄZANIE DLA OSTATECZNEJ BEZPIECZEŃSTWA

Teraz będzie to wymagało nieco więcej myślenia. Wiemy to #h = "17 m" # i mamy # Deltax #. Dlatego możemy określić kąt względem poziomu poziomego.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (niebieski) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Zwróć uwagę, jak używaliśmy #h + Deltavecy # ponieważ w rzeczywistości skoczyliśmy w górę przed upadkiem, a my nie skoczyliśmy do przodu. Więc kąt # theta # obejmuje # Deltax # i całkowita wysokośći weźmiemy wielkość całkowitej wysokości.

I wreszcie od # vecv_x # nie zmienił się przez cały czas (tutaj ignorujemy opór powietrza):

#color (zielony) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= kolor (zielony) (vecv_icostheta')> 0 #

gdzie # vecv_i # jest początkową prędkością z części 1. Teraz musimy tylko wiedzieć, co #vecv_ (fy) # jest po części 2. Wróć do początku, aby zobaczyć:

#vecv_ (fy) ^ 2 = anuluj (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2 gips * (h + Deltavecy) #

Staje się to:

#color (zielony) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Pamiętaj, że to zdefiniowaliśmy w dół jako negatywne, więc # h + Deltay <0 #.

Dobra, jesteśmy tam prawie. Jesteśmy proszeni o # vecv_f #. Dlatego kończymy za pomocą Twierdzenie Pitagorasa.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (niebieski) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Ogólny, #color (niebieski) (| vecv_f | ~~ "19,66 m / s") #.

I to by było wszystko! Sprawdź swoją odpowiedź i powiedz mi, czy to się udało.

Tutaj vel. projekcyjny, # v = 7,3 ms ^ -1 #

kąt. projekcji,# alpha = 25 ^ 0 # powyżej poziomej

Pionowa składowa w górę rzutu projekcji,# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1 #

Budynek ma wysokość 17 m, a pionowe przemieszczenie netto dochodzące do ziemi będzie wynosić # h = -17m # gdy superbohater wyrzucił się w górę (tutaj pozytywnie)

Jeśli czas przelotu, tj. Czas na dotarcie do lądu uważa się za T

następnie używając formuły #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # możemy mieć

# => - 17 = 3,07 * T-0,5 * 9,8 * T ^ 2 #

# => 4,9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

dzielimy obie strony na 4,9

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~~ 2,20 s #

(ujemny czas odrzucony)

Tak więc przemieszczenie poziome bohatera przed dotarciem do ziemi będzie

# = T * vcosalpha = 2,20 ** 7,3 c (25 ^ 0) ~~ 14,56 m #

Obliczanie prędkości w momencie dotarcia do ziemi

Prędkość składowej pionowej w momencie dotarcia do ziemi

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Ponownie pozioma składowa prędkości w momencie dotarcia do ziemi

# => v_x = ucosalpha #

Tak wypadkowa prędkość w momencie dotarcia do ziemi

# v_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2 alfa + u ^ 2 cos ^ 2 alfa-2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (7.3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19.66 "m / s" #

Kierunek # v_r # z poziomym# = tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70,3 ^ @ -> „w dół z poziomym” #

Czy to jest pomocne?