Odpowiedź:
# {: („Punkt krytyczny”, „Wniosek”), ((0,0,0), „siodło”):} #
Wyjaśnienie:
Teoria identyfikacji ekstremów
- Rozwiąż jednocześnie równania krytyczne
# (częściowy f) / (częściowy x) = (częściowy f) / (częściowy y) = 0 (to znaczy# f_x = f_y = 0 # ) - Oceniać
#f_ (x x), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) # w każdym z tych krytycznych punktów. Stąd oceniaj# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # w każdym z tych punktów - Określ naturę ekstrema;
# {: (Delta> 0, "Jest minimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i maksimum jeśli" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "jest punkt siodłowy"), (Delta = 0, „Konieczna jest dalsza analiza”):} #
Więc mamy:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Znajdźmy pierwsze pochodne cząstkowe:
# (częściowy f) / (częściowy x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #
# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (częściowy f) / (częściowy y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Nasze równania krytyczne to:
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
Z tych równań mamy:
# y = 0 # lub# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # lub# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
A jedynym rozwiązaniem jest jednoczesne
I tak mamy jeden punkt krytyczny na początku
Spójrzmy teraz na drugie pochodne cząstkowe, abyśmy mogli określić charakter punktu krytycznego (przytoczę tylko te wyniki):
# (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
# (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (częściowy ^ 2f) / (częściowy x częściowy y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (częściowy ^ 2f) / (częściowy y częściowy x)) #
I musimy obliczyć:
# Delta = (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2) (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2) - ((częściowy ^ 2f) / (częściowy x częściowy y)) ^ 2 #
w każdym punkcie krytycznym. Drugie częściowe wartości pochodne,
# {: ("Punkt krytyczny", (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2), (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2), (częściowy ^ 2f) / (częściowy x częściowy y), Delta, „Wniosek”), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, „włącznie”):} #
Tak więc po tej pracy raczej rozczarowujące jest otrzymanie wyniku inkluzywnego, ale jeśli zbadamy zachowanie wokół punktu krytycznego, możemy łatwo stwierdzić, że jest to punkt siodłowy.
Możemy zobaczyć te krytyczne punkty, jeśli spojrzymy na wykres 3D:
Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domena definicji: f (x) = 2x ^ 2lnx to przedział xw (0, + oo). Oceń pierwszą i drugą pochodną funkcji: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Punkty krytyczne to rozwiązania: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 i jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) W tym punkcie: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, więc punkt krytyczny jest lokalnym minimum. Punkty siodłowe są rozwiązaniami: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 i jak f '' (x) jest monotonicznie rosnący możemy stwierdzić, że f (x ) jest wk
Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Ta funkcja nie ma punktów stacjonarnych (czy jesteś pewien, że f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x to ta, którą chcesz studiować ?!). Zgodnie z najbardziej rozproszoną definicją punktów siodłowych (punkty stacjonarne, które nie są ekstremami), szukasz punktów stacjonarnych funkcji w jej domenie D = (x, y) w RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) w RR ^ 2}. Możemy teraz przepisać wyrażenie podane dla f w następujący sposób: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Sposób ich identyfikacji polega na poszukiwaniu punktów, które unieważniają gradient f, który jest wektorem poch
Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: („Punkt krytyczny”, „Wniosek”), ((0,0), „min”), ((-1, -2), „siodło”), ((-1,2), „siodło” ), ((-5 / 3,0), „max”):} Teoria identyfikacji ekstremów z = f (x, y) to: Rozwiąż równocześnie równania krytyczne (częściowe f) / (częściowe x) = (częściowe f) / (częściowe y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Oceń f_ (xx), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) w każdym z tych punktów krytycznych . Stąd oszacuj Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 w każdym z tych punktów Określ naturę ekstrema; {: (Delta> 0, "Jest minimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i maksimum, jeśli" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "