Jaka jest standardowa forma równania okręgu przechodzącego przez (0, -14), (-12, -14) i (0,0)?

Odpowiedź:

Okrąg o promieniu #sqrt (85) # i centrum #(-6,-7)#

Standardowe równanie formularza to: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Lub, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Wyjaśnienie:

Kartezjańskie równanie okręgu z centrum # (a, b) # i promień # r # jest:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Jeśli koło przechodzi przez (0, -14), to:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Jeśli koło przechodzi przez (0, -14), to:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Jeśli koło przechodzi przez (0,0), to:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Mamy teraz 3 równania w 3 niewiadomych

Eq 2 - Eq 1 daje:

# (12 + a) ^ 2 -a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

Subs # a = 6 # do równania 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # a = 6 # i # r ^ 2 = 36 + b ^ 2 #do równania 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

I wreszcie, Subs # b = -7 # do równania 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

A więc równanie okręgu jest

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Który reprezentuje okrąg o promieniu #sqrt (85) # i centrum #(-6,-7)#

Jeśli zajdzie taka potrzeba, możemy się pomnożyć:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #