Co to jest f '(- pi / 3), gdy podano f (x) = sin ^ 7 (x)?

To jest # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

metoda

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

Bardzo przydatne jest ponowne napisanie tego jako #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # ponieważ to jasno pokazuje, że to, co mamy, to # 7 ^ (th) # funkcja zasilania.

Użyj reguły mocy i reguły łańcucha (ta kombinacja jest często nazywana uogólnioną zasadą mocy).

Dla #f (x) = (g (x)) ^ n #, pochodna jest #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, W innym zapisie # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

W obu przypadkach na twoje pytanie #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Możesz pisać #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

W # x = - pi / 3 #, mamy

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# „niech” y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# „niech” u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Teraz, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {Czy sie zgadzasz?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

ale pamiętaj #u = sin (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Masz honor do uproszczenia

UWAGA:

{

zastanawiasz się, dlaczego robię to wszystko?

powodem jest więcej niż jedna funkcja #f (x) #

** jest: # sin ^ 7 (x) # i jest #sin (x) #!!

więc znaleźć #f '(x) # muszę znaleźć #fa'# z # sin ^ 7 (x) #

ORAZ #fa'# z #sin (x) #

dlatego muszę pozwolić # y = f (x) #

wtedy pozwolić #u = sin (x) #

}