Robiąc mnożniki langrage dla rachunku 3 ... powiedzmy, że znalazłem już swoje punkty krytyczne i otrzymałem z niego wartość. skąd mam wiedzieć, czy jest to wartość minimalna czy maksymalna?

Odpowiedź:

Jednym z możliwych sposobów jest heski (drugi test pochodny)

Wyjaśnienie:

Zazwyczaj, aby sprawdzić, czy punkty krytyczne są minimalne lub maksymalne, często używasz drugiego testu pochodnego, który wymaga znalezienia 4 pochodnych cząstkowych, zakładając #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) #, #f _ {"xy"} (x, y) #, #f _ {"yx"} (x, y) #, i #f _ {"yy"} (x, y) #

Zauważ, że jeśli oba #f _ {"xy"} # i #f _ {"yx"} # są ciągłe w regionie zainteresowania, będą równe.

Gdy już zdefiniujesz te 4, możesz użyć specjalnej macierzy, zwanej Hesjanem, aby znaleźć wyznacznik tej macierzy (która, dość myląco, często nazywana jest również Hesjanem), co da ci trochę informacji o charakter punktu. W związku z tym zdefiniuj hesyjską macierz jako:

#H = | (f_ {"xx"} kolor (biały) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} kolor (biały) (, aa) f_ {yy}) | #

Gdy macie już tę macierz ustanowioną (i będzie to macierz „funkcji”, ponieważ jej zawartość będą funkcjami x i y), można wtedy wziąć jeden ze swoich krytycznych punktów i ocenić cały wyznacznik macierzy. Mianowicie:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

W zależności od wyników tego obliczenia możesz poznać naturę punktu krytycznego:

Jeśli #H> 0 #, w tym momencie jest min / max. Sprawdź znak #f _ {"xx"} #. Jeśli jest dodatni, punkt to min. Jeśli jest ujemny, punkt to max. (Jest to analogiczne do „tradycyjnego” drugiego testu pochodnego dla funkcji pojedynczej zmiennej x.)

Jeśli #H <0 #, tam jest punkt siodłowy.

Jeśli #H = 0 #, test jest niejednoznaczny i musisz polegać na innych środkach, takich jak wykres funkcji do wizualnego określenia.