Jakie są lokalne ekstrema f (x) = sinx na [0,2pi]?

Odpowiedź:

W # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # mamy lokalne maksima i at # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # mamy lokalne minima.

Wyjaśnienie:

Maksima to najwyższy punkt, do którego funkcja wzrasta, a następnie ponownie spada. Jako takie nachylenie stycznej lub wartości pochodnej w tym punkcie będzie równe zero.

Ponadto, gdy styczne na lewo od maksimów będą nachylone w górę, a następnie spłaszczone, a następnie pochylone w dół, nachylenie stycznej będzie stale zmniejszać się, tj. Wartość drugiej pochodnej będzie ujemna.

Minima z drugiej strony to niski punkt, do którego funkcja spada, a następnie ponownie wzrasta. Jako taka, styczna lub wartość pochodnej również w minimach będzie wynosić zero.

Ale ponieważ styczne na lewo od minimów będą nachylone w dół, a następnie spłaszczone, a następnie pochylone w górę, nachylenie stycznej będzie stale wzrastać lub wartość drugiej pochodnej będzie dodatnia.

Jednak te maksima i minima mogą być albo uniwersalne, tj. Maksima lub minima dla całego zakresu, albo mogą być zlokalizowane, tj. Maksima lub minima w ograniczonym zakresie.

Zobaczmy to w odniesieniu do funkcji opisanej w pytaniu i do tego najpierw rozróżnijmy #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # i dalej # 0,2pi # to jest #0# w # x = pi / 2 # i # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # i podczas gdy # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # co oznacza, że mamy lokalne maksima, w # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # co oznacza, że mamy lokalne minima.

wykres {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}