Jakie są ekstrema lokalne f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Odpowiedź:

#(0.14414, 0.05271)# to maksimum lokalne

#(1.45035, 0.00119)# i #(-1.59449, -1947.21451)# są lokalne minimum.

Wyjaśnienie:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Nie kwalifikuje się to jako ekstremum lokalne.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Aby rozwiązać korzenie tej funkcji sześciennej, używamy metody Newtona-Raphsona:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Jest to proces iteracyjny, który przybliży nas do korzenia funkcji. Nie uwzględniam długiego procesu tutaj, ale po dotarciu do pierwszego korzenia możemy wykonać długi podział i łatwo rozwiązać pozostałe kwadraty dla pozostałych dwóch korzeni.

Otrzymamy następujące korzenie:

# x = 0.14414, 1.45035 i -1.59449 #

Wykonujemy teraz pierwszy test pochodny i próbujemy wartości po lewej i prawej stronie każdego korzenia, aby zobaczyć, gdzie pochodna jest dodatnia lub ujemna.

To powie nam, który punkt jest maksymalny, a który minimum.

Wynik będzie następujący:

#(0.14414, 0.05271)# to maksimum lokalne

#(1.45035, 0.00119)# i #(-1.59449, -1947.21451)# są lokalne minimum.

Na poniższym wykresie możesz zobaczyć jedno z minimów:

Poniższy widok pokazuje maksimum i inne minimum: