Istnieją trzy kolejne liczby całkowite dodatnie, takie, że suma kwadratów najmniejszych dwóch wynosi 221. Jakie są liczby?

Odpowiedź:

Tam są #10, 11, 12#.

Wyjaśnienie:

Możemy zadzwonić pod pierwszy numer # n #. Druga liczba musi być kolejna, tak będzie # n + 1 # a trzeci to # n + 2 #.

Warunkiem podanym tutaj jest kwadrat pierwszej liczby # n ^ 2 # plus kwadrat następującego numeru # (n + 1) ^ 2 # jest 221. Możemy pisać

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = 221 #

# n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 221 #

# 2n ^ 2 + 2n = 220 #

# n ^ 2 + n = 110 #

Teraz mamy dwie metody rozwiązania tego równania. Jeszcze jedna mechanika, jedna bardziej artystyczna.

Mechanika polega na rozwiązaniu równania drugiego rzędu # n ^ 2 + n-110 = 0 # zastosowanie wzoru na równania drugiego rzędu.

Artystycznym sposobem jest pisanie

#n (n + 1) = 110 #

i obserwujmy, że chcemy, aby wynik dwóch kolejnych liczb był #110#. Ponieważ liczby są liczbami całkowitymi, możemy przeszukiwać te liczby w czynnikach #110#. Jak możemy pisać #110#?

Na przykład zauważamy, że możemy to napisać jako #110=10*11#.

Och, wygląda na to, że znaleźliśmy nasze kolejne numery!

#n (n + 1) = 10 * 11 #.

Następnie # n = 10, n + 1 = 11 # i trzeci numer (niezbyt przydatny dla problemu) # n + 2 = 12 #.