Trójkąt A ma powierzchnię 9 i dwie strony długości 6 i 9. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 12. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Odpowiedź:

Min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} około 5,922584784 … #

Max # = frac {144 (13 + 8 srt {2})} {41} około 85.39448839 … #

Wyjaśnienie:

Dany:

# Obszar _ {trójkątA} = 9 #

Długość boków # trójkąt A # są # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Długość boków trójkątB # są # U, V, W #

# U = 12 #

# trójkąt A tekst {podobne} trójkąt B #

najpierw rozwiązać # Z #:

użyj Formuły Herona: # A = srt {S (S-A) (S-B) (S-C) # gdzie # S = frak {A + B + C} {2} #, sub w obszarze 9, i sidelengths 6 i 9.

# S = frak {15 + z} {2} #

# 9 = sq {{frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Pozwolić # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

użyj wzoru kwadratowego

# u = frac {-b pm srt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 srt {2}), u = 9 (8 srt {2} +13) #

# Z = srt {u} # Odrzuć negatywne rozwiązania jako # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

A zatem # Z około 3,895718613 # i # 14.79267983 # odpowiednio

# ponieważ trójkąt A tekst {podobny} trójkąt B, Obszar _ {trójkąt B} = k ^ 2 * Obszar _ {trójkątA} # gdzie # k # jest współczynnikiem zmiany rozmiaru

# k = 12 / s # w porządku rosnącym: #s {3 srt {13-8 srt {2}}, 6, 9,3 srt {8 srt {2} +13}} #

lub w postaci dziesiętnej: #s w {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Im większa wartość # s #, im mniejszy obszar, tym mniejsza wartość # s #, im większy obszar,

Zatem, aby zminimalizować obszar wybierz # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

i aby zmaksymalizować wybór obszaru # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Tak więc minimalny obszar # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} około 5,922584784 … #

i maksymalny obszar # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 srt {2})} {41} około 85.39448839 … #

Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 3 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok długości 9. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Maksymalny możliwy obszar trójkąta B = 108 Minimalny możliwy obszar trójkąta B = 15,1875 Delta s A i B są podobne. Aby uzyskać maksymalną powierzchnię Delty B, strona 9 Delty B powinna odpowiadać stronie 3 Delty A. Boki są w proporcji 9: 3 Stąd obszary będą w stosunku 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Maksymalny obszar trójkąta B = (12 * 81) / 9 = 108 Podobnie jak w przypadku minimalnej powierzchni, strona 8 Delty A będzie odpowiadać stronie 9 Delty B. Boki mają proporcje 9: 8 i obszary 81: 64 Minimalna powierzchnia Delta B = (12 * 81) / 64 = 15,1875

Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 3 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok o długości 15. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

Maksymalny możliwy obszar trójkąta B wynosi 300 jednostek kwadratowych Minimalny możliwy obszar trójkąta B wynosi 36,99 Jednostka kwadratowa Powierzchnia trójkąta A to a_A = 12 Kąt zawarty między bokami x = 8, a z = 3 to (x * z * sin Y) / 2 = a_A lub (8 * 3 * sin Y) / 2 = 12:. sin Y = 1:. / _Y = sin ^ -1 (1) = 90 ^ 0 Dlatego kąt zawarty między bokami x = 8 i z = 3 wynosi 90 ^ 0 Strona y = sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt 73. Dla maksimum obszar w trójkącie B Strona z_1 = 15 odpowiada najniższej stronie z = 3 Następnie x_1 = 15/3 * 8 = 40 i y_1 = 15/3 * sqrt 73 = 5 sqrt 73 Maksymalny możliwy obszar będzie (x_

Trójkąt A ma powierzchnię 12 i dwie strony długości 4 i 8. Trójkąt B jest podobny do trójkąta A i ma bok długości 7. Jakie są maksymalne i minimalne możliwe obszary trójkąta B?

A_ "Bmin" ~~ 4.8 A_ "Bmax" = 36,75 Najpierw musisz znaleźć długości boków dla trójkąta A o maksymalnym rozmiarze, gdy najdłuższy bok jest większy niż 4 i 8, a trójkąt o minimalnej wielkości, gdy 8 jest najdłuższym bokiem. Aby to zrobić, użyj wzoru Heron's Area: s = (a + b + c) / 2 gdzie a, b, c są długościami boku trójkąta: A = sqrt (s (sa) (sb) (sc)) Let a = 8, b = 4 "i" c "to nieznane długości boków" s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 +