Co to jest pierwiastek kostki (sqrt3 -i)?

Zacznę od przekształcenia liczby w formę trygonometryczną:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Korzeń kostki tego numeru można zapisać jako:

# z ^ (1/3) #

Mając to na uwadze, używam wzoru na n-tą moc liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # dający:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Który prostokątny jest: # 4.2-0.7i #

Nie mogę całkowicie zgodzić się z odpowiedzią Gió, ponieważ jest niekompletna, a także (formalnie) błędna.

Błąd formalny dotyczy użycia Formuła De Moivre'a z wykładnikami niecałkowitymi. Wzór De Moivre'a można zastosować tylko do wykładników całkowitych. Więcej szczegółów na ten temat na stronie Wikipedii

Znajdziesz tam częściowe rozszerzenie formuły, aby sobie poradzić # n #-th korzenie (obejmuje dodatkowy parametr # k #): Jeśli # z = r (cos theta + i sin theta) #, następnie

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # gdzie # k = 0, …, n-1 #.

Jeden (iw pewnym sensie) bardzo fundamentalną właściwością liczb zespolonych jest to # n #-ty korzenie mają … # n # korzenie (rozwiązania)! Parametr # k # (różni się między #0# i # n-1 #, więc # n # wartości) pozwala podsumować je w jednej formule.

Więc korzenie sześcianów mają trzy rozwiązania i znalezienie jednego z nich nie wystarczy: to tylko „#1/3# rozwiązania ”.

Poniżej napiszę propozycję rozwiązania. Komentarze są mile widziane!

Jak słusznie sugerował Gió, pierwszym krokiem jest wyrażenie # z = sqrt {3} -i # w formie trygonometrycznej #r (cos theta + i sin theta) #. W przypadku korzeni forma trygonometryczna jest (prawie) zawsze użytecznym narzędziem (razem z wykładniczym). Dostajesz:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Więc # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Teraz chcesz obliczyć korzenie. Zgodnie ze wzorem podanym powyżej otrzymujemy:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i grzech ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i grzech ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

gdzie # k = 0, 1, 2 #. Istnieją trzy różne wartości # k # (#0#, #1# i #2#), które rodzą trzy różne złożone korzenie # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i grzech ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i grzech (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i grzech ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + ja grzech (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i grzech ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + ja grzech (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # i # z_2 # są trzy rozwiązania.

Geometryczna interpretacja wzoru na # n # korzenie są bardzo przydatne do rysowania rozwiązań na płaszczyźnie zespolonej. Również fabuła bardzo ładnie wskazuje właściwości formuły.

Przede wszystkim możemy zauważyć, że wszystkie rozwiązania mają tę samą odległość # r ^ {1 / n} # (w naszym przykładzie #2^{1/3}#) od pochodzenia. Więc wszystkie leżą na obwodzie promienia # r ^ {1 / n} #. Teraz musimy wskazać gdzie umieścić je na tym obwodzie. Możemy przepisać argumenty sinus i cosinus w następujący sposób:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

„Pierwszy” korzeń odpowiada # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Wszystkie pozostałe korzenie można uzyskać z tego, dodając kąt # (2pi) / n # rekurencyjnie pod kątem # theta / n # względem pierwszego korzenia # z_0 #. Więc się ruszamy # z_0 # na obwodzie przez obrót # (2pi) / n # radianów (# (360 °) / n #). Punkty znajdują się na wierzchołkach zwykłego # n #-gon. Biorąc pod uwagę jedną z nich, możemy znaleźć innych.

W naszym przypadku:

gdzie jest niebieski kąt # theta / n = -pi / 18 # a magenta jest # (2pi) / n = 2/3 pi #.