Jak udowodnić (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Odpowiedź:

Użyj kilku tożsamości i upraszczaj. Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Uważam, że w pytaniu jest błąd, ale to nic wielkiego. Aby miało to sens, pytanie powinno brzmieć:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Tak czy inaczej, zaczynamy od tego wyrażenia:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Podczas sprawdzania tożsamości wyzwalających zazwyczaj najlepiej jest pracować po stronie, która ma ułamek).

Użyjmy zgrabnej sztuczki zwanej mnożeniem koniugatu, w której pomnożymy ułamek przez mianownik sprzężony:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Koniugat # a + b # jest # a-b #, więc koniugat # 1 + sinx # jest # 1-sinx #; rozmnażamy się przez # (1-sinx) / (1-sinx) # zrównoważyć frakcję.

Zauważ, że # (1 + sinx) (1-sinx) # w rzeczywistości jest to różnica kwadratów, która ma właściwość:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Tutaj to widzimy # a = 1 # i # b = sinx #, więc:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Z tożsamości pitagorejskiej # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, wynika z tego (po odjęciu # sin ^ 2x # z obu stron), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, poszliśmy od # (1-sinx) / (1-sinx) # do # 1-sin ^ 2x # do # cos ^ 2x #! Teraz nasz problem wygląda tak:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Rozwińmy licznik:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Zapamiętaj: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Teraz podzielimy ułamki:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Jak uprościć że ? Pamiętaj, kiedy powiedziałem: „Pamiętaj: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Okazało się, że # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # jest aktualne # (secx-tanx) ^ 2 #. Jeśli pozwolimy # a = secx # i # b = tanx #, widzimy, że to wyrażenie jest:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Które, jak właśnie powiedziałem, jest równoważne # (a-b) ^ 2 #. Zastąpić #za# z # secx # i #b# z # tanx # a otrzymasz:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

A my ukończyliśmy prod:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #

Jak udowodnić tę tożsamość? sin ^ 2x + tan ^ 2x * sin ^ 2x = tan ^ 2x

Pokazane poniżej ... Użyj naszej tożsamości trig ... sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 => sin ^ 2 x / cos ^ 2 x + cos ^ 2 x / cos ^ 2 x = 1 / cos ^ 2 x => tan ^ 2 x + 1 = 1 / cos ^ 2 x Współczynnik lewa strona twojego problemu ... => grzech ^ 2 x (1 + tan ^ 2 x) => grzech ^ 2 x (1 / cos ^ 2 x) = sin ^ 2 x / cos ^ 2 x => (sinx / cosx) ^ 2 = tan ^ 2 x

Jak chciałbym udowodnić, że to tożsamość? Dziękuję Ci. (1-sin ^ 2 (x / 2)) / (1 + sin ^ 2 (x / 2)) = (1 + cosx) / (3-cosx)

LHS = (1-sin ^ 2 (x / 2)) / (1 + sin ^ 2 (x / 2) = (cos ^ 2 (x / 2)) / (1 + 1-cos ^ 2 (x / 2 )) = (2 cos ^ 2 (x / 2)) / (2-2 cos2 2 (x / 2)) = (1 + cosx) / (4- (1 + cosx)) = (1 + cosx) / ( 3-cosx) = RHS

Jak udowodnić 1 / (1 + sin (theta)) + 1 / (1-sin (theta)) = 2sec ^ 2 (theta)?

Patrz poniżej LHS = lewa strona, RHS = prawa strona LHS = 1 / (1 + sin theta) + 1 / (1-sin theta) = (1-sin theta + 1 + sin theta) / ((1 + sin theta) (1-sin theta)) -> Wspólny mianownik = (1-cancelsin theta + 1 + cancelsin theta) / ((1 + sin theta) (1-sin theta)) = 2 / (1-sin ^ 2x) = 2 / cos ^ 2x = 2 * 1 / cos ^ 2x = 2 sekundy ^ 2x = RHS