Jak zintegrowałbyś int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Odpowiedź:

Ta całka nie istnieje.

Wyjaśnienie:

Od #ln x> 0 # w przerwie # 1, e #, mamy

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

tutaj, tak że całka staje się

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Zastąpić #ln x = u #, następnie # dx / x = du # po to aby

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Jest to niepoprawna całka, ponieważ całka rozbiega się w dolnej granicy. Jest to zdefiniowane jako

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

jeśli to istnieje. Teraz

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

ponieważ to odbiega od limitu #l -> 0 ^ + #, całka nie istnieje.

Odpowiedź:

# pi / 2 #

Wyjaśnienie:

Całka # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Zastąp najpierw # u = ln (x) # i # "d" u = ("d" x) / x #.

Tak więc mamy

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Teraz zastąp # u = sin (v) # i # "d" u = cos (v) "d" v #.

Następnie, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) „d” v = int_ (x = 1) ^ (x = e) „d” v # od # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Kontynuując, mamy

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #