Jak znaleźć wielomian Taylora trzeciego stopnia dla f (x) = ln x, wyśrodkowany na a = 2?

Jak znaleźć wielomian Taylora trzeciego stopnia dla f (x) = ln x, wyśrodkowany na a = 2?
Anonim

Odpowiedź:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Wyjaśnienie:

Ogólna forma ekspansji Taylora na środku #za# funkcji analitycznej #fa# jest #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Tutaj #f ^ ((n)) # jest n-tą pochodną #fa#.

Wielomian Taylora trzeciego stopnia jest wielomianem składającym się z pierwszych czterech (# n # od #0# do #3#) warunki pełnej ekspansji Taylora.

Dlatego ten wielomian jest #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, w związku z tym #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Zatem wielomian Taylora trzeciego stopnia to:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Teraz mamy # a = 2 #, więc mamy wielomian:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Wielomian stopnia 4, P (x) ma pierwiastek wielokrotności 2 przy x = 3 i pierwiastki wielokrotności 1 przy x = 0 i x = -3. Przechodzi przez punkt (5,112). Jak znaleźć wzór na P (x)?

Wielomian stopnia 4, P (x) ma pierwiastek wielokrotności 2 przy x = 3 i pierwiastki wielokrotności 1 przy x = 0 i x = -3. Przechodzi przez punkt (5,112). Jak znaleźć wzór na P (x)?

Wielomian stopnia 4 będzie miał postać podstawową: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Zastąp w wartościach dla korzeni, a następnie użyj punktu, aby znaleźć wartość k. Zastąp w wartościach korzeni: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Użyj punktu (5,112), aby znaleźć wartość k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Rdzeń z wielomianu wynosi: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 1 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -3, jak znaleźć możliwą formułę dla P (x)?

Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 1 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -3, jak znaleźć możliwą formułę dla P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Każdy pierwiastek odpowiada współczynnikowi liniowemu, więc możemy napisać: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Dowolny wielomian z tymi zerami i co najmniej tymi krotnościami będzie wielokrotny (skalarny lub wielomianowy) tego przypisu P (x) Ściśle mówiąc, wartość x, która daje P (x) = 0, nazywana jest korzeniem P (x) = 0 lub zerem P (x). Zatem pytanie powinno naprawdę mówić o zerach P (x) lub o korzeniach P (x) = 0.

Gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2), reszta to -19. Kiedy ten sam wielomian jest dzielony przez (x-1), reszta wynosi 2, jak określić resztę, gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2) (x-1)?

Gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2), reszta to -19. Kiedy ten sam wielomian jest dzielony przez (x-1), reszta wynosi 2, jak określić resztę, gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2) (x-1)?

Wiemy, że f (1) = 2 i f (-2) = - 19 z twierdzenia o pozostałościach Teraz znajdź resztę wielomianu f (x) po podzieleniu przez (x-1) (x + 2) Pozostała część będzie postać Ax + B, ponieważ jest pozostałością po podziale przez kwadrat. Możemy teraz pomnożyć dzielnik razy iloraz Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Następnie wstawić 1 i -2 dla x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Rozwiązywanie tych dwóch równań, otrzymujemy A = 7 i B = -5 Pozostała = Ax + B = 7x-5