Jak znaleźć wierzchołek równania kwadratowego?

Odpowiedź:

Użyj wzoru # -b / (2a) # dla współrzędnej x, a następnie podłącz ją, aby znaleźć y.

Wyjaśnienie:

Równanie kwadratowe jest zapisane jako # ax ^ 2 + bx + c # w swojej standardowej formie. A wierzchołek można znaleźć za pomocą formuły # -b / (2a) #.

Na przykład załóżmy, że naszym problemem jest znalezienie wierzchołka (x, y) równania kwadratowego # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) Oceń swoje wartości a, b i c. W tym przykładzie a = 1, b = 2 i c = -3

2) Podłącz swoje wartości do wzoru # -b / (2a) #. W tym przykładzie otrzymasz #-2/(2*1)# które można uprościć do -1.

3) Właśnie znalazłeś współrzędną x swojego wierzchołka! Teraz podłącz -1 dla xw równaniu, aby znaleźć współrzędną y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Po uproszczeniu powyższego równania otrzymasz: 1-2-3, który jest równy -4.

6) Twoja ostateczna odpowiedź to (-1, -4)!

Mam nadzieję, że to pomogło.

Odpowiedź:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # ma wierzchołek # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Wyjaśnienie:

Rozważmy ogólne wyrażenie kwadratowe:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

i związane z nim równanie #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Z korzeniami #alfa# i # beta #.

Wiemy (przez symetrię - patrz poniżej, aby zobaczyć dowód), że wierzchołek (maksymalny lub minimalny) jest punktem środkowym dwóch korzeni, # x #współrzędna wierzchołka:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Przypomnijmy jednak dobrze zbadane właściwości:

# {: („suma pierwiastków”, = alfa + beta, = -b / a), („produkt pierwiastków”, = alfa beta, = c / a):} #

A zatem:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Dając nam:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

A zatem:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # ma wierzchołek # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Dowód punktu środkowego:

Jeśli mamy

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Następnie, różnicując wrt # x #:

# f '(x) = 2ax + b #

W punkcie krytycznym pierwsza pochodna, #f '(x) # znika, co wymaga:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # CO BYŁO DO OKAZANIA