Jakie są ekstrema lokalne f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Odpowiedź:

Jedyne ekstremum to # x = 0.90322 … #, minimum funkcji

Ale aby rozwiązać problem, musisz rozwiązać równanie sześcienne, a odpowiedź wcale nie jest „miła” - czy na pewno pytanie zostało poprawnie wpisane? Zawarłem również sugestie, jak podejść do odpowiedzi bez wchodzenia w zakres analizy pokazany poniżej.

Wyjaśnienie:

1. Standardowe podejście wskazuje nam w mozolnym kierunku

Najpierw oblicz pochodną:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

więc (według zasad łańcucha i ilorazu)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Następnie ustaw wartość równą 0 i rozwiąż # x #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Mamy równanie sześcienne, które można rozwiązać za pomocą rodników, ale nie jest to łatwy proces. Wiemy, że to równanie będzie na ogół miało trzy korzenie, ale nie to, że wszystkie będą prawdziwe, chociaż przynajmniej jeden z nich będzie - przynajmniej jeden będzie znany z twierdzenia o wartości pośredniej - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - która mówi nam, że ponieważ funkcja idzie do nieskończoności na jednym końcu i minus nieskończoności na drugim, to musi przyjąć wszystkie wartości pomiędzy w tym lub innym punkcie.

Próbując wypróbować kilka prostych wartości (1 często ma wartość informacyjną i szybką do wypróbowania), widzimy, że istnieje korzeń między 1/2 a 1, ale nie znajdziemy żadnych oczywistych rozwiązań, które mogłyby uprościć równanie. Rozwiązanie równania sześciennego jest długim i żmudnym procesem (co zrobimy poniżej), więc warto spróbować poinformować swoją intuicję, zanim to zrobimy. Porównując kolejne rozwiązania, stwierdzamy, że wynosi ono od 0,9 do 0,91.

2. Rozwiąż uproszczony problem

Funkcja składa się z różnicy dwóch terminów, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # i # f_2 (x) = (x-4) / x #. Dla większości z zakresu # x #, pierwszy z nich będzie dominował ogromnie, ponieważ drugi termin będzie bliski 1 dla wszystkich wartości # x # z dala od małych wartości. Zapytajmy, jak zachowują się dwa indywidualne terminy.

Pierwszy warunek, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Ustaw to na zero: # x = 3/4 #. To jest w obszarze zera funkcji, którą znaleźliśmy, ale nie jest zbyt blisko.

#f (1) # to parabola w # x #, który dotyka # x # oś na # x = 3/4 #. Jego pochodną jest stroma prosta linia gradientu 32, która przecina oś X w tym samym punkcie.

Drugi termin, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Ustaw to na zero: nie ma żadnych rozwiązań # x #. Więc # f_2 # nie ma ekstrema jako funkcji samodzielnie. Ma jednak punkt, w którym wieje do nieskończoności: # x = 0 #. Przechodzi do nieskończoności dodatniej, gdy zbliża się do 0 od strony ujemnej, a do nieskończoności ujemnej, gdy zbliża się do 0 od strony dodatniej. Daleko od tego punktu krzywa dąży do wartości 1 po obu stronach. # f_2 # to hiperbola skoncentrowana na # (x, y) = (0,1) #. Jego pochodna jest krzywą złożoną z dwóch części, ujemną i dodatnią # x #. Z obu kierunków dochodzi do dodatniej nieskończoności # x = 0 # i zawsze jest pozytywne.

Zauważ, że # f_1 ^ '(x) <0 # dla wszystkich #x <0 #. Nie może być żadnych przecięć # f_1 ^ '# i # f_2 ^ '# na minusie # x # oś. Nad pozytywem # x # oś musi być dokładnie jednym przecięciem - jedna krzywa przechodzi od mniej niż 0 do nieskończoności jako # x # robi to samo, podczas gdy druga przechodzi od nieskończoności do 0. Dzięki zastosowaniu twierdzenia o wartości pośredniej (patrz wyżej) muszą one przejść dokładnie raz.

Teraz jesteśmy pewni, że szukamy tylko jednego rozwiązania, ale nie mamy na to dobrej odpowiedzi.

3. Numerycznie przybliż odpowiedź

W sytuacjach zawodowych wymagających rozwiązania tego rodzaju problemów często najszybszym sposobem na dotarcie do miejsca, w którym trzeba się znaleźć, jest wykonanie przybliżenia liczbowego. Dobrym sposobem na znalezienie korzeni funkcji jest metoda Newtona-Raphsona (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Co oznacza: znaleźć korzeń funkcji #fa#, najpierw zgadnij # x_0 # w korzeniu, a następnie iteracyjnie w kółko według tej formuły:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # to lepsze odgadnięcie niż # x_0 #i po prostu powtarza to aż do osiągnięcia pożądanej precyzji.

Przypomnij sobie naszą funkcję i jej pochodną:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Możemy więc odgadnąć 0.5 jako nasz root, tworząc # x_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. A zatem # f_1 = 0,5 + 8/24 = 0,5 + 1/3 = 0,8333 …. #, rzeczywiście bliższa odpowiedź. Powtarzanie prowadzi do wartości około 0,9 wspomnianej powyżej.

Możemy więc znaleźć odpowiedź z dowolną precyzją, ale pełna odpowiedź wymaga rozwiązania analitycznego, coś, co zauważyliśmy powyżej byłoby trudne. Więc zaczynamy…

4. Rozwiąż cały problem, powoli i boleśnie

Zróbmy teraz pełne rozwiązanie sześcienne (trzeba będzie pokochać algebrę, aby poprawnie rozwiązać ten problem):

Po pierwsze, podziel, aby termin wiodący miał współczynnik 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Po drugie, wykonaj następującą substytucję zmiennej # y # usunąć # x ^ 2 # semestr:

Zastąpić # x = y + 1/4 #. Bardziej ogólnie, dla równania formy # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, można by zastąpić # x = y-b / (3a) #. Jeśli pracujesz przez algebrę, zobaczysz, że zawsze powoduje to # x ^ 2 # termin zniknąć. W tym przypadku uzyskujemy:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Rozwiń nawiasy, pamiętając o twierdzeniu dwumianowym:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Zauważ, że te dwa # y ^ 2 # terminy dokładnie anulować)

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Mamy teraz taką samą liczbę terminów, jak wcześniej, ponieważ wcześniej nie mieliśmy # y # semestr. Utrata # y ^ 2 # termin to matematyczny zysk, obietnica!

Po trzecie, dokonaj kolejnej zmiany (zastąpienie Viety: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html), aby zamienić to w kwadrat:

Zastąpić # y = w + 1 / (16w) #. Bardziej ogólnie, dla równania formy # y ^ 3 + py = q #, to zastąpienie jest # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# w ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Zauważ, że oba # w # i # 1 / w # warunki anulują się dokładnie)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Teraz możesz zapytać, co z tego korzyści na ziemi - bawiliśmy się naszym równaniem stopnia 3, dopóki nie mamy równania stopnia 6, z pewnością straty … Ale teraz możemy myśleć o tym jako równanie kwadratowe w # w ^ 3 #i możemy rozwiązać równania kwadratowe …)

Po czwarte, rozwiń równanie kwadratowe dla # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Używając równania kwadratowego:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Mamy odpowiedź! Teraz musimy powrócić do naszej oryginalnej zmiennej # x #.

Po piąte, powróć do naszych oryginalnych warunków

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Weź korzeń sześcianu:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Przypomnij sobie, jak się odnieśliśmy # y # do # w # wcześniej: # y = w + 1 / (16w) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Teraz # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Sokratejski nie wydaje się oferować minus plus plus minus, więc musimy to napisać w ten sposób)

A zatem

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Jeśli pomnożymy znaki minus w drugim dużym wyrażeniu, zobaczymy, że otrzymujemy dwa identyczne wyrażenia, więc możemy upuścić kwadratowe znaki plus / minus i uprościć

# y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

W końcu (!) Przypominamy, że ustawiliśmy # x = y + 1/4 #.

A zatem

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Po szóste, wywnioskuj, ile z tych korzeni jest prawdziwych

Dwa wyrażenia w korzeniach kostki mają po jednym prawdziwym korzeniu i dwóch sprzężonych wyimaginowanych korzeniach. Liczba rzeczywista #za# ma trzy korzenie sześcianu # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Teraz wiemy, że oba wyrażenia wewnątrz korzeni kostki są dodatnie (zauważ # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), a więc wyimaginowane elementy w drugiej i trzeciej wartości dla # x # nie może sumować się do zera.

Wniosek

Dlatego istnieje tylko jeden prawdziwy korzeń # x # (jak doszliśmy do wniosku powyżej, dzięki prostszej analizie), a zatem tylko jeden lokalny ekstremum na krzywej, o którą pytasz, określony przez wyrażenie

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

lub po przecinku

# x = 0.90322 … #

Możemy wywnioskować, że jest to minimum funkcji przez fakt, że istnieje tylko jedno ekstremum i funkcja ma tendencję do dodatniej nieskończoności na obu końcach.