Co oznacza granica nieskończonej sekwencji?

Granica nieskończonej sekwencji mówi nam o jej długoterminowym zachowaniu.

Biorąc pod uwagę ciąg liczb rzeczywistych #na#, to limit #lim_ (n do oo) a_n = lim a_n # jest definiowana jako pojedyncza wartość, do której zbliża się sekwencja (jeśli zbliża się do dowolnej wartości) podczas tworzenia indeksu # n # większy. Limit sekwencji nie zawsze istnieje. Jeśli tak, mówi się, że sekwencja jest zbieżny, inaczej mówi się, że tak jest rozbieżny.

Dwa proste przykłady:

Rozważ kolejność # 1 / n #. Łatwo zauważyć, że jest to limit #0#. W rzeczywistości, biorąc pod uwagę dowolną wartość dodatnią bliską #0#, możemy zawsze znaleźć wystarczająco dużą wartość # n # takie # 1 / n # jest mniejsza niż podana wartość, co oznacza, że jej limit musi być mniejszy lub równy zero. Ponadto każdy termin sekwencji jest większy niż zero, więc jego limit musi być większy lub równy zero. Dlatego tak jest #0#.
Weź ciągłą sekwencję #1#. To znaczy dla każdej danej wartości # n #, termin #na# sekwencji jest równa #1#. Jasne jest, że bez względu na to, jak duży jesteśmy # n # wartość sekwencji jest #1#. Więc to jest limit #1#.

Aby uzyskać bardziej rygorystyczną definicję, niech #na# być ciągiem liczb rzeczywistych (to znaczy #forall nw NN: a_n w RR #) i #epsilon w RR #. Następnie numer #za# mówi się, że jest limit sekwencji #na# wtedy i tylko wtedy gdy:

#wszystkie epsilon> 0 istnieje N w NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Ta definicja jest równoważna nieformalnej definicji podanej powyżej, z tym wyjątkiem, że nie musimy nakładać jedności na limit (można to wywnioskować).

Pierwszy i drugi termin sekwencji geometrycznej to odpowiednio pierwszy i trzeci termin sekwencji liniowej. Czwarty termin sekwencji liniowej wynosi 10, a suma pierwszych pięciu terminów wynosi 60. Znajdź pięć pierwszych terminów sekwencji liniowej?

{16, 14, 12, 10, 8} Typowa sekwencja geometryczna może być przedstawiona jako c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k i typowa sekwencja arytmetyczna jako c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Wywoływanie c_0 a jako pierwszego elementu dla sekwencji geometrycznej, którą mamy {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Pierwsza i druga GS to pierwsza i trzecia LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > „Czwarty termin ciągu liniowego wynosi 10”), (5c_0a + 10Delta = 60 -> „Suma pierwszych pięciu terminów wynosi 60”):} Rozwiązywanie dla c_0, a, Delta otrzymujemy c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2, a pierwszych pięć

Drugi termin w sekwencji geometrycznej to 12. Czwarty termin w tej samej sekwencji to 413. Jaki jest wspólny stosunek w tej sekwencji?

Wspólny współczynnik r = sqrt (413/12) Drugi termin ar = 12 Czwarty termin ar ^ 3 = 413 Wspólny współczynnik r = {ar ^ 3} / {ar} r = sqrt (413/12)

Czy potrafisz znaleźć limit sekwencji lub ustalić, że limit nie istnieje dla sekwencji {n ^ 4 / (n ^ 5 + 1)}?

Sekwencja ma takie samo zachowanie, jak n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, gdy n jest duże. Należy manipulować wyrażeniem tylko trochę, aby powyższe stwierdzenie było jasne. Podziel wszystkie terminy na n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Wszystkie te ograniczenia istnieją, gdy n-> oo, więc mamy: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, więc sekwencja zmierza do 0