Co to jest pochodna -sin (x)?

Poprzednia odpowiedź zawiera błędy. Oto poprawne wyprowadzenie.

Przede wszystkim znak minus przed funkcją #f (x) = - sin (x) #, biorąc pochodną, zmieniłby znak pochodnej funkcji #f (x) = sin (x) # przeciwnie. Jest to łatwe twierdzenie w teorii granic: granica stałej pomnożona przez zmienną równą tej stałej pomnożonej przez granicę zmiennej. Znajdźmy więc pochodną #f (x) = sin (x) # a następnie pomnóż to przez #-1#.

Musimy zacząć od następującego stwierdzenia o granicy funkcji trygonometrycznej #f (x) = sin (x) # ponieważ jego argument ma tendencję do zera:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

Dowód tego jest czysto geometryczny i opiera się na definicji funkcji #sin (x) #. Istnieje wiele zasobów internetowych, które zawierają dowód tego stwierdzenia, na przykład The Math Page.

Używając tego, możemy obliczyć pochodną #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Używanie reprezentacji różnicy #grzech# funkcjonuje jako produkt #grzech# i #sałata# (patrz Unizor, Trigonometry - Trig Sum of Angles - Problemy 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Dlatego pochodna #f (x) = - sin (x) # jest #f '(x) = - cos (x) #.