Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Odpowiedź:

#(0,0)# jest punktem siodłowym

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # i # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # to lokalne maksima

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # i # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # są minimami lokalnymi

# (0, pm 1 / sqrt 2) # i # (pm 1 / sqrt 2,0) # są punktami przegięcia.

Wyjaśnienie:

Dla funkcji ogólnej #F (x, y) # z nieruchomym punktem na # (x_0, y_0) # mamy rozszerzenie serii Taylora

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Dla funkcji

#f (x) = x y ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

mamy

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Łatwo zauważyć, że obie pierwsze pochodne znikają przy następnych odcinkach

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Aby zbadać naturę tych punktów stacjonarnych, musimy spojrzeć na zachowanie drugich pochodnych.

Teraz

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

i podobnie

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

i

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Więc dla #(0,0)# mamy # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - stąd

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Jeśli podejdziesz #(0,0)# wzdłuż linii # x = y #to się stanie

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

a więc #(0,0)# jest oczywiście minimum, jeśli podejdziesz z tego kierunku. Z drugiej strony, jeśli podejdziesz wzdłuż linii # x = -y # mamy

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

a więc #(0,0)# jest maksimum w tym kierunku, A zatem #(0,0)# jest punkt siodłowy.

Dla # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # łatwo to zauważyć

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

co oznacza że

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Tak więc funkcja zmniejsza się w zależności od tego, od czego się odsuniesz # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # a to jest maksimum lokalne. Łatwo zauważyć, że to samo dotyczy # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (powinno to być oczywiste, ponieważ funkcja pozostaje taka sama pod # (x, y) do (-x, -y) #!

Znowu dla obu # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # i # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # mamy

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Oba te punkty są więc minimami lokalnymi.

Cztery punkty # (0, pm 1 / sqrt2) # i # (pm 1 / sqrt2, 0) # są bardziej problematyczne - ponieważ wszystkie pochodne drugiego rzędu znikają w tych punktach. Musimy teraz spojrzeć na pochodne wyższego rzędu. Na szczęście tak naprawdę nie musimy bardzo ciężko pracować, aby osiągnąć ten cel - kolejne uzyski pochodne

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

który jest niezerowy dla obu # (0, pm 1 / sqrt2) # i # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Teraz oznacza to na przykład

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

który pokazuje, że to wzrośnie z # f (0,1 / sqrt 2) # w jednym kierunku i zmniejszają się w drugim. A zatem # (0,1 / sqrt2) # jest ** punktem przegięcia. Ten sam argument działa dla pozostałych trzech punktów.