Trzech Greków, trzech Amerykanów i trzech Włochów siedzi losowo wokół okrągłego stołu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ludzie z trzech grup siedzą razem?

Odpowiedź:

#3/280#

Wyjaśnienie:

Policzmy, w jaki sposób wszystkie trzy grupy mogłyby siedzieć obok siebie i porównać to z liczbą sposobów, w jakie wszystkie 9 mogłyby być przypadkowo osadzone.

Będziemy numerować ludzi od 1 do 9 i grupy #A, G, I. #

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Istnieją 3 grupy, więc są #3! = 6# sposoby rozmieszczenia grup w linii bez zakłócania ich wewnętrznych zamówień:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Do tej pory daje nam to 6 poprawnych permutacji.

W każdej grupie jest 3 członków, więc znowu #3! = 6# sposoby rozmieszczenia członków w każdej z 3 grup:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

W połączeniu z 6 sposobami rozmieszczenia grup mamy teraz #6^4# aktualne permutacje.

A ponieważ jesteśmy przy okrągłym stole, dopuszczamy 3 aranżacje, w których pierwsza grupa może być „połową” na jednym końcu i „połową” na drugiej:

# „A A A G G I I” #

# „A A G G I I A” #

# „A G G I I A A” #

Liczba sposobów, aby wszystkie 3 grupy zostały posadzone razem, to # 6 ^ 4 xx 3. #

Liczba losowych sposobów zorganizowania wszystkich 9 osób to #9!#

Prawdopodobieństwo losowego wyboru jednego z „udanych” sposobów jest wtedy

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#