Proszę rozwiązać q 11?

Odpowiedź:

Znajdź minimalną wartość # 4 cos theta + 3 sin theta. #

Kombinacja liniowa jest przesuniętą fazowo i skalowaną falą sinusoidalną, której skala jest określona przez wielkość współczynników w postaci polarnej, # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # więc minimum #-5#.

Wyjaśnienie:

Znajdź minimalną wartość # 4 cos theta + 3 sin theta #

Liniowa kombinacja sinusów i cosinusów tego samego kąta jest przesunięciem fazowym i skalowaniem. Rozpoznajemy potrójną Pitagorasa #3^2+4^2=5^2.#

Pozwolić # phi # bądź taki kąt #cos phi = 4/5 # i #sin phi = 3/5 #. Kąt # phi # jest główną wartością #arctan (3/4) # ale to nie ma dla nas większego znaczenia. Dla nas liczy się to, że możemy przepisać nasze stałe: # 4 = 5 cos phi # i # 3 = 5 sin phi #. Więc

# 4 cos theta + 3 sin theta #

# = 5 (cos phi cos theta + sin phi sin theta) #

# = 5 cos (theta - phi) #

więc ma minimum #-5#.

Odpowiedź:

#-5# jest wymaganą wartością minimalną.

Wyjaśnienie:

Podziel równanie # 3sinx + 4cosx # przez #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # zredukować go do formularza #sin (x + -alfa) lub cos (x + -alfa) # gdzie #za# i #b#

są współczynnikami # sinx # i # cosx # odpowiednio.

# rarr3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

Pozwolić # cosalpha = 3/5 # następnie # sinalpha = 4/5 #

Teraz, # 3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + alfa) = 5sin (x + alfa) #

Wartość # 5sin (x + alfa) # będzie minimalna kiedy #sin (x + alfa #) jest minimalną i minimalną wartością #sin (x + alfa) # jest #-1#.

Tak więc minimalna wartość # 5sin (x + alfa) = - 5 #