Co to jest całka (ln (xe ^ x)) / x? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

# # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Wyjaśnienie:

Otrzymujemy:

# # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Za pomocą #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Za pomocą #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Za pomocą #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Dzielenie frakcji (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Oddzielenie całek sumowanych:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

Druga integralność jest po prostu #x + C #, gdzie #DO# jest dowolną stałą. Pierwszą całkę używamy # u #-podstawienie:

Pozwolić #u equiv ln (x) #, stąd #du = 1 / x dx #

Za pomocą # u #-podstawienie:

# = int udu + x + C #

Całkowanie (dowolna stała #DO# może wchłonąć dowolną stałą pierwszej całki nieokreślonej:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Zastępując wstecz pod względem # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Odpowiedź:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Wyjaśnienie:

Zaczynamy od użycia następującej tożsamości logarytmu:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Stosując to do całki, otrzymujemy:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int nn (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int nn (x) / x + x / x dx = int nn (x) / x + 1 dx = int nn (x) / x dx + x #

Aby ocenić pozostałą całkę, używamy integracji według części:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

pozwolę #f (x) = ln (x) # i #g '(x) = 1 / x #. Możemy wtedy obliczyć, że:

#f '(x) = 1 / x # i #g (x) = ln (x) #

Następnie możemy zastosować formułę integracji według części, aby uzyskać:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Ponieważ mamy całkę po obu stronach znaku równości, możemy rozwiązać go jak równanie:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Po podłączeniu do oryginalnego wyrażenia otrzymujemy ostatnią odpowiedź:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Co to jest całka int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naszym dużym problemem w tej całce jest root, więc chcemy się go pozbyć. Możemy to zrobić, wprowadzając substytucję u = sqrt (2x-1). Pochodna jest wtedy (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Więc dzielimy przez (i pamiętajmy, że dzielenie przez odwrotność jest takie samo jak mnożenie tylko przez mianownik), aby zintegrować w odniesieniu do u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / anuluj (sqrt (2x-1)) anuluj (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Teraz wszystko, co musimy zrobić, to wyrazić x ^ 2 w kategoriach u (ponieważ nie można z

Czym jest podwójna całka?

Najprostszym sposobem myślenia o podwójnej całce jest objętość pod powierzchnią w przestrzeni trójwymiarowej. Jest to analogiczne do myślenia o normalnej całce jako o obszarze pod krzywą. Jeśli z = f (x, y) to int_y int_x (z) dx dy będzie objętością pod tymi punktami, z, dla domen określonych przez y i x.

Co to jest całka liniowa?

Najprostszym sposobem myślenia o całce linii jest obszar pod krzywą, zwykle w przestrzeni trójwymiarowej (zwykle pomiędzy dwoma punktami granicznymi), gdzie krzywa jest zdefiniowana przez funkcję. f (x, y)