Jak znaleźć obszar ograniczony krzywymi y = -4sin (x) i y = sin (2x) w przedziale zamkniętym od 0 do pi?

Odpowiedź:

Oceniać

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Obszar to: #8#

Wyjaśnienie:

Obszar między dwiema ciągłymi funkcjami #f (x) # i #g (x) # koniec #x w a, b # jest:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Dlatego musimy znaleźć, kiedy #f (x)> g (x) #

Niech krzywe będą funkcjami:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Wiedząc to #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Podzielić przez #2# co jest pozytywne:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Podzielić przez # sinx # bez odwracania znaku, ponieważ #sinx> 0 # dla każdego #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Co jest niemożliwe, ponieważ:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Tak więc początkowe stwierdzenie nie może być prawdziwe. W związku z tym, #f (x) <= g (x) # dla każdego #x w 0, π #

Całka jest obliczana:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#