Co to jest wektor własny? + Przykład

Odpowiedź:

Jeśli wektor # v # i liniowa transformacja przestrzeni wektorowej #ZA# są takie #A (v) = k * v # (gdzie stała # k # jest nazywany wartość własna), # v # nazywa się wektor własny transformacji liniowej #ZA#.

Wyjaśnienie:

Wyobraź sobie transformację liniową #ZA# rozciągania wszystkich wektorów o współczynnik #2# w przestrzeni trójwymiarowej. Dowolny wektor # v # zostanie przekształcony w # 2v #. Dlatego dla tej transformacji wszystkie wektory są wektory własne z wartość własna z #2#.

Rozważmy obrót trójwymiarowej przestrzeni wokół osi Z o kąt # 90 ^ o #. Oczywiście wszystkie wektory oprócz tych wzdłuż osi Z zmienią kierunek, a zatem nie mogą być wektory własne. Ale te wektory wzdłuż osi Z (ich współrzędne mają postać # 0,0, z #) zachowa swój kierunek i długość, dlatego są wektory własne z wartość własna z #1#.

Na koniec rozważ rotację według # 180 ^ o # w trójwymiarowej przestrzeni wokół osi Z. Tak jak poprzednio, wszystkie wektory o długiej osi Z nie zmienią się, tak są wektory własne z wartość własna z #1#.

Ponadto wszystkie wektory w płaszczyźnie XY (ich współrzędne mają postać # x, y, 0 #) zmieni kierunek na przeciwny, zachowując długość. Dlatego też są wektory własne z wartości własne z #-1#.

Każda transformacja liniowa przestrzeni wektorowej może być wyrażona jako mnożenie wektora przez macierz. Na przykład pierwszy przykład rozciągania jest opisany jako mnożenie przez macierz #ZA#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Taka macierz pomnożona przez dowolny wektor # v = {x, y, z} # będzie produkować # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Jest to oczywiście równe # 2 * v #. Więc mamy

# A * v = 2 * v #, co dowodzi, że każdy wektor # v # jest wektor własny z wartość własna #2#.

Drugi przykład (obrót o # 90 ^ o # wokół osi Z) można opisać jako mnożenie przez macierz #ZA#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Taka macierz pomnożona przez dowolny wektor # v = {x, y, z} # będzie produkować # A * v = {- y, x, z} #, który może mieć ten sam kierunek, co oryginalny wektor # v = {x, y, z} # tylko, jeżeli # x = y = 0 #, to znaczy, jeśli oryginalny wektor jest skierowany wzdłuż osi Z.