Jak przekonwertować r = 1 / (4 - costheta) na formę kartezjańską?

Odpowiedź:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Wyjaśnienie:

Hej, Sokratejski: Czy to naprawdę konieczne, aby powiedzieć nam, że zostało to zadane 9 minut temu? Nie lubię kłamać. Powiedz nam, że zapytano go dwa lata temu i nikt nie był jeszcze w stanie tego zrobić. Co się dzieje z podejrzanie identycznie sformułowanymi pytaniami z wielu miejsc? Nie wspominając o Santa Cruz, Stany Zjednoczone? Prawie na pewno jest ich więcej niż jeden, chociaż słyszę ten w Kalifornii w miłej formie. Wiarygodność i reputacja są ważne, zwłaszcza na stronie domowej. Nie wprowadzaj w błąd ludzi. Zakończ rant.

Podczas konwertowania równań ze współrzędnych biegunowych na prostokątne brutalna siła prostokątna na podstawienie polarne

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = tekst {arctan2} (y "/," x) quad #

rzadko jest najlepszym podejściem. (Celowo wskazuję tutaj czterostronną odwrotną styczną, ale nie dajmy się przekręcić).

Najlepiej byłoby użyć podstawień biegunowych do prostokątnych, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK spójrzmy na pytanie.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Te równania polarne na ogół pozwalają na ujemne # r #, ale tutaj jesteśmy pewni # r # jest zawsze pozytywna.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Sądzę, że są to elipsy, które tak naprawdę nie mają znaczenia, ale dają nam pewne pojęcie, jak mamy wyglądać prostokątna forma. Chcemy dążyć do czegoś bez pierwiastków kwadratowych lub arktangentów # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # ma pierwiastki kwadratowe, ale #rcos theta = x # nie, więc rozwijamy się.

# 4r - rcos theta = 1 #

Teraz po prostu zastępujemy; zrobimy to krok po kroku.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Przejdźmy teraz do kwadratu. Wiemy #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Jest to dość okrągła elipsa. (Mniejsza stała niż #4# w oryginale dałby bardziej ekscentryczną elipsę.) Możemy uzupełnić kwadrat, aby umieścić go w standardowej formie, ale zostawmy go tutaj.