Dlaczego pierwiastek kwadratowy z 5 jest liczbą niewymierną?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie …

Wyjaśnienie:

Oto szkic dowodu sprzeczności:

Przypuszczać #sqrt (5) = p / q # dla niektórych dodatnich liczb całkowitych # p # i # q #.

Bez utraty ogólności możemy przypuszczać, że #p, q # są najmniejsze takie liczby.

Następnie z definicji:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Pomnóż oba końce przez # q ^ 2 # uzyskać:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Więc # p ^ 2 # jest podzielny przez #5#.

Potem od #5# jest pierwszy, # p # musi być podzielny przez #5# zbyt.

Więc #p = 5m # dla pewnej dodatniej liczby całkowitej # m #.

Więc mamy:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5 m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Podziel oba końce przez #5# uzyskać:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Podziel oba końce przez # m ^ 2 # uzyskać:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Więc #sqrt (5) = q / m #

Teraz #p> q> m #, więc #q, m # jest mniejszą parą liczb całkowitych, których iloraz wynosi #sqrt (5) #, zaprzeczając naszej hipotezie.

Tak więc nasza hipoteza #sqrt (5) # może być reprezentowany przez # p / q # dla niektórych liczb całkowitych # p # i # q # to fałsz. To jest, #sqrt (5) # nie jest racjonalny. To jest, #sqrt (5) # jest irracjonalne.