W jakich odstępach wklęsłe jest poniższe równanie, wklęsłe i gdzie jest to punkt przegięcia (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Odpowiedź:

• Jeśli # 0 <x <e ^ (- 15/56) # następnie #fa# jest wklęsły;
• Jeśli #x> e ^ (- 15/56) # następnie #fa# jest Wklęsła;
• # x = e ^ (- 15/56) # jest (punkt opadający) punkt przegięcia

Wyjaśnienie:

Analiza punktów wklęsłości i przegięcia funkcji podwójnie zróżnicowalnej #fa#, możemy zbadać dodatniość drugiej pochodnej. W rzeczywistości, jeśli # x_0 # jest punktem w domenie #fa#, następnie:

• Jeśli #f '' (x_0)> 0 #, następnie #fa# jest Wklęsła w sąsiedztwie # x_0 #;
• Jeśli #f '' (x_0) <0 #, następnie #fa# jest wklęsły w sąsiedztwie # x_0 #;
• Jeśli #f '' (x_0) = 0 # i znak #fa''# na wystarczająco małym prawie sąsiedztwie # x_0 # jest przeciwieństwem znaku #fa''# na wystarczająco małym lewym sąsiedztwie # x_0 #, następnie # x = x_0 # nazywa się punkt przegięcia z #fa#.

W konkretnym przypadku #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, mamy funkcję, której domena musi być ograniczona do pozytywnych wyników #RR ^ + #.

Pierwsza pochodna to

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Druga pochodna to

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Przyjrzyjmy się pozytywności #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Biorąc pod uwagę, że domena jest #RR ^ + #, rozumiemy to

• Jeśli # 0 <x <e ^ (- 15/56) # następnie #f '' (x) <0 # i #fa# jest wklęsły;
• Jeśli #x> e ^ (- 15/56) # następnie #f '' (x)> 0 # i #fa# jest Wklęsła;
• Jeśli # x = e ^ (- 15/56) # następnie #f '' (x) = 0 #. Biorąc pod uwagę, że po lewej stronie tego punktu #fa''# jest ujemny, a po prawej jest pozytywny, konkludujemy # x = e ^ (- 15/56) # jest (punkt opadający) punkt przegięcia