Czym jest funkcja wykładnicza?

Funkcja wykładnicza służy do modelowania zależności, w której stała zmiana zmiennej niezależnej daje taką samą proporcjonalną zmianę w zmiennej zależnej.

Funkcja jest często zapisywana jako exp (x) Jest szeroko stosowany w fizyce, chemii, inżynierii, biologii matematycznej, ekonomii i matematyce.

Funkcja wykładnicza jest funkcją formularza #f (x) = a ^ x # z #a> 0 # ale #a! = 1 #.

Dla liczb całkowitych i racjonalnych # x #, podajemy definicje # a ^ x # wcześniej w lekcjach algebry.

Dla irracjonalnego # x # jesteśmy ci winni definicję, ale jednym podejściem do definicji jest opisanie # a ^ x # dla irracjonalnego # x # jako numer thar # a ^ r # zbliża się do racjonalności # r # zbliżyć się do # x #. (Jesteśmy ci winni dowód, że istnieje taki unikalny numer.)

Przykłady:

#f (x) = 2 ^ x #

#f (x) = 5 ^ x #

#f (x) = (2/5) ^ x #

#f (x) = 4 ^ x = (2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) #

Ostatni przykład ilustruje, dlaczego również rozważamy #f (x) = a ^ (kx) # dla stałej #k! = 0 # być funkcjami wykładniczymi

Możemy pisać #f (x) = a ^ (kx) = (a ^ k) ^ x # i dla #a> 0 # i #k! = 0 # to #f (x) = b ^ x # dla „właściwego rodzaju” #b#. (#b> 0 #, i #b! = 1 #)

Jaka jest różnica między wykresem wykładniczej funkcji wzrostu a wykładniczą funkcją rozpadu?

Wzrost wykładniczy rośnie. Oto y = 2 ^ x: wykres {y = 2 ^ x [-20,27, 20,28, -10,13, 10,14]} Rozkład wykładniczy maleje Oto y = (1/2) ^ x, który jest również y = 2 ^ (- x): wykres {y = 2 ^ -x [-32,47, 32,48, -16,23, 16,24]}

Czym jest funkcja wykładnicza w postaci y = ab ^ x, której wykres przechodzi przez (1,3) (2,12)?

Y = 3 * 4 ^ (x-1) y = ab ^ x Powiedziano nam, że punkty (1,3) i (2,12) leżą na wykresie y Stąd: y = 3, gdy x = 1 i y = 12, gdy x = 2:. 3 = a * b ^ 1 [A] i 12 = a * b ^ 2 [B] [A] -> a = 3 / b [C] [C] w [B] -> 12 = 3 / b * b ^ 2 b = 4 b = 4 w [C] -> a = 3/4 Stąd nasza funkcja wynosi y = 3/4 * 4 ^ x, co upraszcza do: y = 3 * 4 ^ (x-1) Możemy przetestować to przez ocenę y przy x = 1 i x = 2, jak poniżej: x = 1: y = 3 * 4 ^ 0 = 3 * 1 = 3 Sprawdź ok x = 2: y = 3 * 4 ^ 1 = 3 * 4 = 12 Sprawdź ok. Stąd funkcja wykładnicza jest poprawna.

Jaka jest funkcja wykładnicza z punktami (0, 1) i (3, 64)?

F (x) = 4 ^ x Chcemy funkcję wykładniczą f (x) = a ^ x taką, że f (0) = a ^ 0 = 1 if (3) = a ^ 3 = 64. Tak naprawdę musimy określić. Dla ^ 0 = 1, a może być dowolną liczbą rzeczywistą (niezerową), ta sprawa niewiele nam mówi. Dla ^ 3 = 64, weź pod uwagę liczbę, która w przypadku sześcianu równa się 64. Jedyną liczbą spełniającą to wymaganie jest 4, jako 4 ^ 3 = 4 * 4 * 4 = 16 * 4 = 64 Więc funkcja wykładnicza my chcieć to f (x) = 4 ^ x