Uzyskaj wielomian kwadratowy z następującymi warunkami? 1. suma zer = 1/3, iloczyn zer = 1/2

Odpowiedź:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Wyjaśnienie:

Kwadratowa formuła jest #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Suma dwóch korzeni:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# -b / a = 1/3 #

# b = -a / 3 #

Produkt dwóch korzeni:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# c / a = 1/2 #

# c = a / 2 #

Mamy # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Dowód:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# x = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2 sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Odpowiedź:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Wyjaśnienie:

Jeśli mamy ogólne równanie kwadratowe:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

I oznaczamy pierwiastek równania przez #alfa# i # beta #więc mamy także:

# (x-alpha) (x-beta) = 0 iff x ^ 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0 #

Co daje nam dobrze zbadane właściwości:

# {: („suma pierwiastków”, = alfa + beta, = -b / a), („produkt pierwiastków”, = alfa beta, = c / a):} #

Mamy więc:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alfa beta, = c / a, = 1/2):} #

Szukanym równaniem jest:

# x ^ 2 - "(suma pierwiastków)" x + "(iloczyn pierwiastków)" = 0 #

to znaczy.:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

I (opcjonalnie), aby usunąć współczynniki ułamkowe, mnożymy przez #6# dający:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #