Jak znaleźć pochodną tan (x - y) = x? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Wyjaśnienie:

Zakładam, że chcesz znaleźć # (dy) / (dx) #. W tym celu najpierw potrzebujemy wyrażenia # y # pod względem # x #. Zauważamy, że ten problem ma różne rozwiązania, ponieważ #tan (x) # to okresowe funkcje, #tan (x-y) = x # będzie mieć wiele rozwiązań. Ponieważ jednak znamy okres funkcji stycznej (#Liczba Pi#), możemy wykonać następujące czynności: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, gdzie #tan ^ (- 1) # jest odwrotną funkcją stycznej dającej wartości między # -pi / 2 # i # pi / 2 # i czynnik # npi # został dodany w celu uwzględnienia okresowości stycznej.

To nam daje # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, w związku z tym # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, zauważ, że czynnik # npi # zniknął. Teraz musimy znaleźć # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Jest to dość trudne, ale wykonalne za pomocą twierdzenia o funkcji odwrotnej.

Oprawa # u = tan ^ (- 1) x #, mamy # x = tanu = sinu / cosu #, więc # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, używając reguły ilorazu i niektórych tożsamości trygonometrycznych. Używając twierdzenia o funkcji odwrotnej (która stwierdza, że jeśli # (dx) / (du) # mamy ciągłe i niezerowe, mamy # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), mamy # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Teraz musimy to wyrazić # cos ^ 2u # pod względem x.

Aby to zrobić, używamy trygonometrii. Biorąc pod uwagę trójkąt z bokami #ABC# gdzie #do# jest przeciwprostokątną i # a, b # podłączony pod kątem prostym. Jeśli # u # jest kątem, w którym strona #do# przecina stronę #za#, mamy # x = tanu = b / a #. Z symbolami #ABC# w równaniach oznaczamy de długość tych krawędzi. # cosu = a / c # i używając twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. To daje # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, więc # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Od # u = tan ^ (- 1) x #, możemy zastąpić to naszym równaniem # (dy) / (dx) # i znajdź # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.

Czym jest pierwsza pochodna i druga pochodna 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(pierwsza pochodna)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(druga pochodna)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(pierwsza pochodna)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) ”(druga pochodna)”

Co to jest druga pochodna x / (x-1) i pierwsza pochodna 2 / x?

Pytanie 1 Jeśli f (x) = (g (x)) / (h (x)) to przez Regułę Iloczynu f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Więc jeśli f (x) = x / (x-1) to pierwsza pochodna f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2), a druga pochodna to f '' (x) = 2x ^ -3 Pytanie 2 Jeśli f (x) = 2 / x można to zapisać ponownie jako f (x) = 2x ^ -1 i używając standardowych procedur do przyjmowania pochodnej f '(x) = -2x ^ -2 lub, jeśli wolisz f' (x) = - 2 / x ^ 2

Czym jest pierwsza pochodna i druga pochodna x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2, aby znaleźć pierwszą pochodną, musimy po prostu użyć trzech reguł: 1. Reguła mocy d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Reguła stała d / dx (c) = 0 (gdzie c jest liczbą całkowitą, a nie zmienną) 3. Reguła sumy i różnicy d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] pierwsza pochodna powoduje: 4x ^ 3-0, co upraszcza do 4x ^ 3, aby znaleźć drugą pochodną, musimy wyprowadzić pierwszą pochodną, ponownie stosując regułę mocy, która powoduje : 12x ^ 3 możesz kontynuować, jeśli chcesz: trzecia pochodna = 36x ^ 2 czwarta pochodna = 72x piąta pochodna = 72 sz