Dlaczego okrąg jednostkowy i funkcje wyzwalające zdefiniowane na nim są użyteczne, nawet gdy przeciwprostokątne trójkątów w problemie nie są 1?

Dlaczego okrąg jednostkowy i funkcje wyzwalające zdefiniowane na nim są użyteczne, nawet gdy przeciwprostokątne trójkątów w problemie nie są 1?
Anonim

Funkcje Trig mówią nam o związku między kątami i długościami boków w prawych trójkątach. Powód, dla którego są użyteczne, ma związek z właściwościami podobnych trójkątów.

Podobne trójkąty są trójkątami o takich samych miarach kąta. W rezultacie stosunki między podobnymi bokami dwóch trójkątów są takie same dla każdej strony. Na poniższym obrazie ten współczynnik wynosi #2#.

Okrąg jednostkowy daje nam relacje między długością boków różnych trójkątów prostych i ich kątów. Wszystkie te trójkąty mają przeciwprostokątną #1#, promień okręgu jednostki. Ich wartości sinusów i cosinusów są długościami nóg tych trójkątów.

Załóżmy, że mamy # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # trójkąt i wiemy, że długość przeciwprostokątnej wynosi #2#. Możemy znaleźć # 30 ^ o #- # 60 ^ o #- # 90 ^ o # trójkąt na okręgu jednostki. Ponieważ przeciwprostokątna naszego nowego trójkąta jest #2#, wiemy, że stosunek boków jest równy stosunkowi przeciwprostokątnych.

# r = (hipoteza u se) / 1 = 2/1 = 2 #

Aby rozwiązać pozostałe boki trójkąta, musimy tylko pomnożyć #sin (30 ^ o) # i #cos (30 ^ o) # przez # r #, który jest #2#.

# 2sin (30 ^ o) = 2 (1/2) = 1 #

# 2cos (30 ^ o) = 2 (sqrt (3) / 2) = sqrt (3) #

Możesz rozwiązać każdy trójkąt, który znasz przynajmniej jedną stronę, znajdując podobny trójkąt na okręgu jednostki, a następnie mnożąc #sin (theta) # i #cos (theta) # według współczynnika skalowania.