Jakie jest znaczenie limitu funkcji?

Odpowiedź:

Wyrok #lim_ (x a) f (x) = L # oznacza: jak # x # zbliża się do #za#, #f (x) # zbliża się do # L #.

Wyjaśnienie:

Dokładna definicja to:

Dla dowolnej liczby rzeczywistej #ε>0#, istnieje inna liczba rzeczywista #δ>0# takie, że jeśli # 0 <| x-a |<>, następnie # | f (x) -L |<>.

Rozważ funkcję #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Jeśli wykreślimy wykres, wygląda to tak:

Nie możemy powiedzieć, na czym polega wartość # x = 1 #, ale wygląda tak, jakby #f (x) # awanse #2# tak jak # x # awanse #1#.

Spróbujmy to pokazać #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Pytanie brzmi, skąd czerpiemy # 0 <| x-1 |<> do # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Musimy zacząć od pewnej wartości #ε# a następnie znajdź odpowiednią wartość dla #δ#.

Zacznijmy

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Drugi warunek to

# | x-1 | <δ #

Definicja pasuje dokładnie, jeśli #δ = ε#.

Właśnie pokazaliśmy to dla każdego #ε#, tam jest #δ# po to aby # | f (x) 2 |<> gdy # 0 <| x-1 |<>.

Pokazaliśmy to

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #