Dwa rogi trójkąta mają kąty (3 pi) / 8 i pi / 6. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 1, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Dwa rogi trójkąta mają kąty (3 pi) / 8 i pi / 6. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 1, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?
Anonim

Odpowiedź:

Najdłuższy możliwy obwód jest w przybliżeniu #4.8307#.

Wyjaśnienie:

Najpierw znajdujemy jeden pozostały kąt, wykorzystując fakt, że kąty trójkąta sumują się #Liczba Pi#:

Dla #triangle ABC #:

Pozwolić #angle A = (3pi) / 8 #

Pozwolić #angle B = pi / 6 #

Następnie

#angle C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (biały) (kąt C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (biały) (kąt C) = (11pi) / 24 #

Dla każdego trójkąta najkrótszy bok jest zawsze przeciwny do najmniejszego kąta. (To samo dotyczy najdłuższego boku i największego kąta).

Aby zmaksymalizować obwód, jedna znana długość boku powinna być najmniejsza. Od tego czasu #angle B # jest najmniejszy (na # pi / 6 #), ustawiliśmy # b = 1 #.

Teraz możemy użyć prawa sinusoidalnego do obliczenia pozostałych dwóch stron:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b razy (sinA) / (sinB) #

#color (biały) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (biały) (=> a) ~~ 0,9239 / 0,5 "" "" 1,8478 #

Podobna formuła jest używana do pokazania #c ~~ 1.9829 #.

Dodawanie tych trzech wartości (z #za#, #b#, i #do#) razem zapewnią najdłuższy możliwy obwód dla trójkąta takiego jak opisany:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (biały) P ~~ 1,8478 + 1 + 1,9829 #

#color (biały) P = 4,8307 #

(Ponieważ jest to pytanie geometryczne, możesz zostać poproszony o podanie odpowiedzi w dokładnej formie, z radykałami. Jest to możliwe, ale trochę nużące ze względu na odpowiedź tutaj, dlatego dałem moją odpowiedź jako przybliżona wartość dziesiętna.)