Co mówi drugi test pochodny na temat zachowania f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 w tych liczbach krytycznych?

Odpowiedź:

Drugi test pochodny oznacza, że liczba krytyczna (punkt) # x = 4/7 # daje lokalne minimum #fa# podczas nic nie mówiąc o naturze #fa# w liczbach krytycznych (punkty) # x = 0,1 #.

Wyjaśnienie:

Jeśli #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, a następnie reguła produktu mówi

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Ustawienie tej wartości na zero i rozwiązanie dla # x # oznacza to #fa# ma liczby krytyczne (punkty) w # x = 0,4 / 7,1 #.

Ponowne użycie reguły produktu daje:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Teraz #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, i #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Drugi test pochodny oznacza zatem, że liczba krytyczna (punkt) # x = 4/7 # daje lokalne minimum #fa# podczas nic nie mówiąc o naturze #fa# w liczbach krytycznych (punkty) # x = 0,1 #.

W rzeczywistości krytyczna liczba (punkt) na # x = 0 # daje lokalne maksimum dla #fa# (a Pierwszy Test Pochodny jest na tyle silny, że sugeruje to, mimo że Drugi Test Pochodny nie dał żadnych informacji) i krytyczną liczbę (punkt) w # x = 1 # nie daje lokalnego maksimum ani min #fa#, ale (jednowymiarowy) „punkt siodłowy”.