Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = xy (1-x-y)?

Odpowiedź:

Punkty #(0,0),(1,0)#, i #(0,1)# są punkty siodłowe. Punkt #(1/3,1/3)# jest lokalnym punktem maksymalnym.

Wyjaśnienie:

Możemy się rozwijać #fa# do #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Następnie znajdź pochodne cząstkowe i ustaw je na zero.

# frac {częściowo f} {częściowy x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac {częściowo f} {niepełne y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Wyraźnie, # (x, y) = (0,0), (1,0), # i #(0,1)# są rozwiązania tego systemu, a więc są to punkty krytyczne #fa#. Inne rozwiązanie można znaleźć w systemie # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Rozwiązywanie pierwszego równania dla # y # pod względem # x # daje # y = 1-2x #, które można podłączyć do drugiego równania, aby uzyskać # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Od tego, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # także.

Aby przetestować naturę tych krytycznych punktów, znajdujemy drugie pochodne:

# frac {częściowo ^ {2} f} {niepełny x ^ {2}} = - 2y #, # frac {częściowo ^ {2} f} {niepełne y ^ {2}} = - 2x #, i # frac {częściowo ^ {2} f} {niepełny x częściowo y} = frak {częściowy ^ {2} f} {częściowy y częściowy x} = 1-2x-2y #.

Wyróżnikiem jest zatem:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Podłączanie pierwszych trzech punktów krytycznych daje:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, i #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, czyniąc te punkty punktami siodłowymi.

Podajemy ostatni punkt krytyczny #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Zauważ też # frac {częściowo ^ {2} f} {niepełny x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. W związku z tym, #(1/3,1/3)# jest lokalizacją lokalnej maksymalnej wartości #fa#. Możesz sprawdzić, czy sama maksymalna wartość lokalna jest #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Poniżej znajduje się obraz mapy konturowej (krzywych poziomów) #fa# (krzywe, gdzie wyjście #fa# jest stała), wraz z 4 punktami krytycznymi #fa#.

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domena definicji: f (x) = 2x ^ 2lnx to przedział xw (0, + oo). Oceń pierwszą i drugą pochodną funkcji: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Punkty krytyczne to rozwiązania: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 i jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) W tym punkcie: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, więc punkt krytyczny jest lokalnym minimum. Punkty siodłowe są rozwiązaniami: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 i jak f '' (x) jest monotonicznie rosnący możemy stwierdzić, że f (x ) jest wk

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ta funkcja nie ma punktów stacjonarnych (czy jesteś pewien, że f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x to ta, którą chcesz studiować ?!). Zgodnie z najbardziej rozproszoną definicją punktów siodłowych (punkty stacjonarne, które nie są ekstremami), szukasz punktów stacjonarnych funkcji w jej domenie D = (x, y) w RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) w RR ^ 2}. Możemy teraz przepisać wyrażenie podane dla f w następujący sposób: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Sposób ich identyfikacji polega na poszukiwaniu punktów, które unieważniają gradient f, który jest wektorem poch

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: („Punkt krytyczny”, „Wniosek”), ((0,0), „min”), ((-1, -2), „siodło”), ((-1,2), „siodło” ), ((-5 / 3,0), „max”):} Teoria identyfikacji ekstremów z = f (x, y) to: Rozwiąż równocześnie równania krytyczne (częściowe f) / (częściowe x) = (częściowe f) / (częściowe y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Oceń f_ (xx), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) w każdym z tych punktów krytycznych . Stąd oszacuj Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 w każdym z tych punktów Określ naturę ekstrema; {: (Delta> 0, "Jest minimum, jeśli" f_ (xx) <0), (, "i maksimum, jeśli" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "