Dwa rogi trójkąta mają kąty (3 pi) / 8 i pi / 8. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 3, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Po pierwsze, zauważamy, że jeśli są dwa kąty # alpha = pi / 8 # i # beta = (3pi) / 8 #, ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze #Liczba Pi# trzeci kąt to: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, więc to jest trójkąt prawy.

Aby zmaksymalizować obwód, znana strona musi być krótszą katetem, więc będzie przeciwna do najmniejszego kąta, który jest #alfa#.

Przeciwprostokątna trójkąta będzie wtedy:

# c = a / sin alpha = 3 / sin (pi / 8) #

gdzie #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

podczas gdy druga jest:

#b = a / tan (pi / 8) #

gdzie #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Wreszcie:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 12, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Najdłuższy możliwy obwód wynosi 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941. Ponieważ dwa kąty wynoszą (2pi) / 3 i pi / 4, trzeci kąt to pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Dla najdłuższej strony obwodu o długości 12, powiedzmy a, musi być przeciwny najmniejszy kąt pi / 12, a następnie za pomocą wzoru sinusowego pozostałe dwie strony będą wynosić 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Stąd b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 i c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) / 0,2588=32.786 Stąd najdłuższy możliwy obwód wynosi 12 + 40.155 + 32

Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 4, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

P_max = 28,31 jednostek Problem daje dwa z trzech kątów w dowolnym trójkącie. Ponieważ suma kątów w trójkącie musi sumować się do 180 stopni, lub pi radianów, możemy znaleźć trzeci kąt: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Narysujmy trójkąt: Problem stwierdza, że jeden z boków trójkąta ma długość 4, ale nie określa strony. Jednak w każdym danym trójkącie prawdą jest, że najmniejszy bok będzie przeciwny od najmniejszego kąta. Jeśli chcemy zmaksymalizować obwód, powinniśmy wykonać bok o długości 4 po przeci

Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 19, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Najdłuższy możliwy kolor obwodu (zielony) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842) Trzy kąty wynoszą (2 ppi) / 3, pi / 4, pi / 12, ponieważ trzy kąty sumują się do pi ^ c Aby uzyskać najdłuższy obwód, bok 19 powinien odpowiadać najmniejszemu kątowi pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63,5752 Najdłuższy możliwy kolor obwodu (zielony) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842 )