Jeśli rzucisz pojedynczą kością, jaka jest oczekiwana liczba rolek potrzebnych do rzucenia każdego numeru raz?

Odpowiedź:

# 14,7 „rolki” #

Wyjaśnienie:

#P "wszystkie wyrzucone liczby" = 1 - P "1,2,3,4,5 lub 6 nie rzucone" #

#P "A lub B lub C lub D lub E lub F" = P A + P B + … + P F - #

#P A i B - P A i C …. + P A i B oraz C + … #

# „Oto jest” #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# „Negatywem tego jest nasze prawdopodobieństwo.” #

#sum n * a ^ (n-1) = suma (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) suma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = suma n * P "wszystkie liczby wyrzucone po n rzutach" #

# = sum n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# „Musimy odjąć jeden z powodu warunku rozpoczęcia P_1 (0)” #

# ”podaje błędną wartość P = 1 dla n = 1.” #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Odpowiedź:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Wyjaśnienie:

Pomyśl o tym jak o sześciu mini-grach. W każdej grze rzucamy kostką, dopóki nie rzucimy liczby, która jeszcze nie została wyrzucona - co nazwiemy „wygraną”. Następnie zaczynamy kolejną grę.

Pozwolić # X # bądź liczbą rzutów potrzebnych do rzucenia co najmniej raz (tzn. wygraj wszystkie 6 mini-gier) i pozwól # X_i # być liczbą rzutów potrzebnych do „wygrania” numeru mini-gry #ja# (dla #ja# od 1 do 6). Potem każdy # X_i # jest zmienną losową geometryczną z rozkładem # „Geo” (p_i) #.

Oczekiwana wartość każdej zmiennej losowej geometrycznej wynosi # 1 / p_i #.

W pierwszej grze # p_1 = 6/6 # ponieważ wszystkie 6 wyników jest „nowe”. A zatem, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

W drugiej grze 5 z 6 wyników jest nowych # p_2 = 5/6 #. A zatem, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

W trzeciej grze 4 z 6 możliwych rzutów są nowe # p_3 = 4/6 #, znaczenie # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

W tym momencie widzimy wzór. Ponieważ liczba „wygrywających” rzutów zmniejsza się o 1 dla każdej nowej gry, prawdopodobieństwo „wygrania” każdej gry spada z #6/6# do #5/6#, następnie #4/6#, itd., co oznacza, że spodziewana liczba rzutów na grę sięga #6/6# do #6/5#, do #6/4#i tak dalej, aż do ostatniej gry, w której oczekujemy, że zajmie 6 rolek, aby uzyskać ostatni numer.

A zatem:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (biały) („E” (X)) = „E” (X_1) + „E” (X_2) + … + „E” (X_5) + „E” (X_6) #

#color (biały) („E” (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (biały) („E” (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (biały) („E” (X)) = 14,7 #