Funkcja prędkości to v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 dla cząstki poruszającej się wzdłuż linii. Jakie jest przemieszczenie (odległość netto) cząstki w przedziale czasu [-3,6]?

Odpowiedź:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Wyjaśnienie:

Powierzchnia pod krzywą prędkości jest równoważna pokonanej odległości.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2kolor (biały) („X”) dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (niebieski) ((- 3)) ^ kolor (czerwony) (6) #

# = (kolor (czerwony) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (kolor (niebieski) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Odpowiedź:

Pierwotne pytanie jest nieco mylące, ponieważ sugeruje, że przemieszczenie i odległość są tym samym, czym nie jest.

Przygotowałem niezbędną integrację dla każdego przypadku poniżej.

Wyjaśnienie:

Całkowity dystans (wielkość skalarna reprezentująca rzeczywistą długość ścieżki) jest sumą całek cząstkowych

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Całkowite przemieszczenie (ilość wektora reprezentująca linię prostą narysowaną od początku do końca ruchu) jest podana w wielkości przez następującą całkę

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Wykres funkcji prędkości z czasem wyjaśnia, dlaczego całki te muszą być ustawione, aby zasady wektorowe były przestrzegane, a definicje spełnione.

wykres {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}