Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się na (5, 8) i (4, 6). Jeśli powierzchnia trójkąta wynosi 36, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

Dana para tworzy podstawę, długość #sqrt {5} #, a wspólne boki są długości #sqrt {1038.05} #,

Wyjaśnienie:

Nazywają się wierzchołkami.

Podoba mi się ten, ponieważ nie powiedziano nam, czy mamy wspólną stronę czy bazę. Znajdźmy trójkąty, które tworzą obszar 36 i określmy, które są równoramienne później.

Zadzwoń na wierzchołki #A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

Możemy natychmiast powiedzieć

#AB = sqrt {(5-4) ^ 2 + (8-6) ^ 2} = sqrt {5} #

Formuła sznurowadła zapewnia obszar

# 36 = 1/2 | 5 (6) - 8 (4) + 4y - 6x + 8x - 5 lat | #

# 72 = | -2 + 2x - y #

# y = 2x - 2 pm 72 #

#y = 2x + 70 quad # i # quad y = 2x - 74 #

To dwie równoległe linie i dowolny punkt #C (x, y) # na jednym z nich się robi #text {obszar} (ABC) = 36. #

Które są równoramienne? Istnieją trzy możliwości: AB jest bazą, BC jest bazą, lub AC jest bazą. Dwa będą miały te same przystające trójkąty, ale pozwólmy je rozwiązać:

Sprawa AC = BC:

# (x-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 #

# -10 x + 25 -16 y + 64 = -8x + 16 -12 y + 36 #

# -2x -4 y = -37 #

To się spełnia # y = 2x + k quad quad (k = 70, -74) # gdy

# -2x -4 (2x + k) = -37 #

# -10 x = 4 k - 37 #

# x = 1/10 (37 - 4k) quad quad k = 70, -74 #

# x = 1/10 (37 - 4 (70)) = -24,3 #

# y = 2 (-24,3) + 70 = 21,4 #

# x = 1/10 (37 - 4 (-74)) = 33,3 #

#y = 2 (33,3) - 74 = -7,4 #

#C (-24,3, 21,4) # długości boków

#AC = sqrt {(5-24,3) ^ 2 + (8 - 21,4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# BC = sqrt {(4-24.3) ^ 2 + (6 - 21,4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

#C (33,3, -7,4) # długości boków

#AC = sqrt {(5 - 33,3) ^ 2 + (8-7,4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# BC = sqrt {(4-33,3) ^ 2 + (6 - -7,4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

przypadek AB = BC: #A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

# 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 = x ^ 2 -8x + y ^ 2 - 12 y + 16 + 36 #

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47 #

To ból, ponieważ kwadraty nie zostały anulowane. Spotkajmy się z

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47, y = 2x + 70 quad # brak prawdziwych rozwiązań

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47, y = 2x - 74 quad # brak prawdziwych rozwiązań

Nic tu nie ma.

przypadek AB = AC: #A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

# 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 89 #

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0 #

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0 y = 2x + 70 quad # brak rozwiązań

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0, y = 2x - 74 quad # brak rozwiązań