Dwa rogi trójkąta mają kąty (5 pi) / 12 i (pi) / 8. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 4, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Odpowiedź:

#24.459#

Wyjaśnienie:

Wpuść # Delta ABC #, # kąt A = {5 pi} / 12 #, # kąt B = pi / 8 # stąd

# kąt C = p- kąt A- kąt B #

p = {5 pi} / 12- p / 8 #

# = {11 pi} / 24 #

Aby uzyskać maksymalny obwód trójkąta, musimy wziąć pod uwagę daną stronę długości #4# jest najmniejsza, czyli po stronie # b = 4 # jest przeciwny do najmniejszego kąta # kąt B = {p} / 8 #

Teraz, używając zasady Sine # Delta ABC # następująco

# frac {a} {sin A} = frac {b} {sin B} = frac {c} {sin C} #

# frac {a} {sin ({5 pi} / 12)} = frac {4} {sin (pi / 8)} = frac {c} {sin ({11}} / 24)} #

# a = frac {4 sin ({5}} / 12)} {sin (pi / 8)} #

# a = 10,096 # &

# c = frac {4 sin ({11}} / 24)} {sin (pi / 8)} #

# c = 10,363 #

stąd maksymalny możliwy obwód # trójkąt ABC # jest podane jako

# a + b + c #

#=10.096+4+10.363#

#=24.459#

Odpowiedź:

Pozwolę ci wykonać ostateczne obliczenia.

Wyjaśnienie:

Czasami szybki szkic pomaga w zrozumieniu problemu. Tak jest w przypadku. Wystarczy tylko przybliżyć dwa podane kąty.

Od razu widać (w tym przypadku), że najkrótsza długość to AC.

Jeśli więc ustawimy to na daną dozwoloną długość 4, pozostałe dwa będą na maksimum.

Najprostszą stosowaną relacją jest zasada sinus.

# (AC) / sin (B) = (AB) / sin (C) = (BC) / sin (A) # dający:

# (4) / sin (pi / 8) = (AB) / sin ((5pi) / 12) = (BC) / sin (A) #

Zaczynamy od określenia kąta A

Znany: # / _ A + / _ B + / _ C = pi "radians" = 180 #

# / _ A + pi / 8 + (5pi) / 12 = pi ”radians # #

# / _ A = 11/24 pi „radianów” -> 82 1/2 „stopni” #

To daje:

#color (brązowy) ((4) / sin (pi / 8) = (AB) / sin ((5pi) / 12) = (BC) / sin ((11pi) / 24)) #

A zatem # AB = (4sin ((5pi) / 12)) / sin (pi / 8) #

i # BC = (4sin ((11pi) / 24)) / sin (pi / 8) #

Przepracuj je i dodaj wszystko, łącznie z podaną długością 4