Mars ma średnią temperaturę powierzchni około 200K. Pluton ma średnią temperaturę powierzchni około 40K. Która planeta emituje więcej energii na metr kwadratowy powierzchni na sekundę? W jakim stopniu?

Odpowiedź:

Mars emituje #625# razy więcej energii na jednostkę powierzchni niż Pluto.

Wyjaśnienie:

Oczywiste jest, że cieplejszy obiekt emituje więcej promieniowania ciała czarnego. Wiemy więc już, że Mars będzie emitował więcej energii niż Pluton. Jedyne pytanie dotyczy tego, ile.

Problem ten wymaga oceny energii promieniowania ciała czarnego emitowanego przez obie planety. Energia ta jest opisywana jako funkcja temperatury i emitowanej częstotliwości:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Integracja ponad częstotliwością daje całkowitą moc na jednostkę powierzchni jako funkcję temperatury:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

(zauważ, że powyższe równanie wykorzystuje # barh #, zmniejszona stała Plancka, a nie # h #. Trudno jest czytać w notacji Sokratejskiej)

Rozwiązując stosunek między nimi, wynik jest niezwykle prosty. Jeśli # T_p # jest temperaturą Plutona i # T_m # to temperatura Marsa to czynnik #za# można obliczyć za pomocą:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / cancel (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # razy tyle