Rachunek Różniczkowy

Y = (- 1/4) x + 1 Kolor (czerwony) (nachylenie) linii stycznej do danej funkcji 2-sqrtx to kolor (czerwony) (f '(4)) Obliczmy kolor (czerwony) ( f '(4)) f (x) = 2-sqrtx f' (x) = 0-1 / (2sqrtx) = - 1 / (2sqrtx) kolor (czerwony) (f '(4)) = - 1 / ( 2sqrt4) = - 1 / (2 * 2) = kolor (czerwony) (- 1/4) Ponieważ ta linia jest styczna do krzywej w (kolor (niebieski) (4,0)), to przechodzi przez ten punkt: Równanie linii jest: y-kolor (niebieski) 0 = kolor (czerwony) (- 1/4) (kolor x (niebieski) 4) y = (- 1/4) x + 1 Czytaj więcej »

Sin (x) ^ tanh (x) * (1-tanh ^ 2 (x)) * ln (sin (x)) + „” ”sin (x) ^ (tanh (x) -1) * tanh (x) * cos (x) „Pochodna„ f (x) ^ g (x) ”jest trudną do zapamiętania formułą.” „Jeśli nie pamiętasz tego dobrze, możesz wydedukować to w następujący sposób:„ x ^ y = exp (y * ln (x)) => f (x) ^ g (x) = exp (g (x) * ln (f (x))) => (f (x) ^ g (x)) ' = exp (g (x) * ln (f (x))) (g (x) * ln (f (x))) '”(reguła łańcucha + pochodna exp (x))” = exp (g (x ) * ln (f (x))) (g '(x) * ln (f (x)) + g (x) (f' (x)) / f (x)) = f (x) ^ g ( x) * g '(x) * ln (f (x)) + f (x) ^ (g (x) - 1) * g (x) * f' (x) „Oto mamy” f (x) Czytaj więcej »

Y = r / k-Be ^ (- kx) Mamy: dy / dx = r-ky Które jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Możemy zmienić kolejność w następujący sposób: 1 / (r-ky) dy / dx = 1 Możemy więc „oddzielić zmienne”, aby uzyskać: int 1 / (r-ky) dy = int dx Integrating daje nam: -1 / k ln (r-ky) = x + C:. ln (r-ky) = -kx -kC:. ln (r-ky) = -kx + ln A (pisząc lnA == kC):. ln (r-ky) -lnA = -kx:. ln ((r-ky) / A) = -kx:. (r-ky) / A = e ^ (- kx):. r-ky = Ae ^ (- kx):. ky = r-Ae ^ (- kx):. y = r / k-Be ^ (- kx) Czytaj więcej »

Więc rozwiązanie tej nierówności sprawia, że jest ona prawdziwa xw (0.1) rozważ f (x) = e ^ x-lnx-e / x, mamy f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 twierdzą, że f '(x)> 0 dla wszystkich rzeczywistych x i stwierdzając, że f (1) = 0 f (1) = e-ln1-e = 0 rozważa granicę f jako x idzie do 0 lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo Innymi słowy, pokazując f '(x)> 0, pokazujesz, że funkcja jest coraz większa i jeśli f (1) = 0 oznacza, że f (x) <0 dla x <1, ponieważ funkcja zawsze rośnie, z definicji lnx lnx definiuje się dla każdego x> 0 z definicji e ^ xe ^ x jest zdefini Czytaj więcej »

Dy / dx = - (2sin (xy) + 2xcos (xy)) / (1-2xcos (xy)) Możemy zmienić i uprościć otrzymywanie: -2xsin (xy) = yd / dx [y] = d / dx [ -2xsin (xy)] d / dx [y] = d / dx [-2x] sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) d / dx [xy] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx [x] -d / dx [y]) d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx [x] -d / dx [y]) Za pomocą reguły chqain otrzymujemy d / dx = dy / dx * d / dy dy / dxd / dy [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (1-dy / dxd / dy [y]) dy / dx = -2sin (xy ) -2xcos (xy) (1-dy / dx) dy / dx = -2sin (xy) -2xcos (xy) + 2x Czytaj więcej »

„Patrz wyjaśnienie„ f ”(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h„ Mamy tutaj „f (x) = ln (x) => f” (x) = lim_ {h-> 0} (ln (x + h) - ln (x)) / h = lim_ {h-> 0} ln ((x + h) / x) / h = lim_ {h -> 0} ln (1 + h / x) / h = y => e ^ y = lim_ {h-> 0} (1 + h / x) ^ (1 / h) = e ^ (1 / x) "(Limit Eulera)" => y = 1 / x => f '(x) = 1 / x Czytaj więcej »

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y najlepiej napisane jako (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 trójkąt qquad, który pokazuje, że jest to liniowe równanie różniczkowe jednorodne drugiego rzędu, ma charakterystyczne równanie r ^ 2 8 r + 16 = 0, które można rozwiązać w następujący sposób (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 jest to powtórzony pierwiastek, więc ogólne rozwiązanie jest w postaci y = (Ax + B) e ^ (4x) to nie oscyluje i modeluje pewnego rodzaju wykładnicze zachowanie, które naprawdę zależy od wartości A i B. Można się domyślać, że może to być Czytaj więcej »

I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C Chcemy rozwiązać I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx Spróbujmy bardziej ogólnego problemu I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx Gdzie szukamy rozwiązania I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C Trik polega na dwukrotnym użyciu integracji przez części intudv = uv-intvdu Niech u = e ^ (ax) i dv = cos (bx) dx Następnie du = ae ^ (ax) dx v = 1 / bsin (bx) I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx ) dx Zastosuj całkowanie przez części do pozostałej całki I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx Ni Czytaj więcej »

Dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x))) To jest paskudne. y = (cos (7x)) ^ x Zacznij od wzięcia logarytmu naturalnego z obu stron i sprowadź wykładnik x w dół jako współczynnik prawej strony: rArr lny = xln (cos (7x)) Teraz rozróżnij każdą ze stron w odniesieniu do x, przy użyciu reguły produktu po prawej stronie. Zapamiętaj zasadę niejawnego różnicowania: d / dx (f (y)) = f '(y) * dy / dx: .1 / y * dy / dx = d / dx (x) * ln (cos (7x)) + d / dx (ln (cos (7x))) * x Korzystanie z reguły łańcuchowej dla funkcji logarytmu naturalnego - d / dx (ln (f (x))) = (f '(x)) / f (x) - może Czytaj więcej »