Rachunek Różniczkowy

Znajdź pochodną i użyj definicji nachylenia. Równanie to: y = 2πx-π ^ 2 f (x) = x ^ 2 + sin ^ 2x f '(x) = 2x + 2sinx (sinx)' f '(x) = 2x + 2sinxcosx Nachylenie jest równe pochodna: f '(x_0) = (yf (x_0)) / (x-x_0) Dla x_0 = π f' (π) = (yf (π)) / (x-π) Aby znaleźć te wartości: f ( π) = π ^ 2 + sin ^ 2π f (π) = π ^ 2 + 0 ^ 2 f (π) = π ^ 2 f '(π) = 2 * π + 2sinπcosπ f' (π) = 2 * π + 2 * 0 * (- 1) f '(π) = 2π Wreszcie: f' (π) = (yf (π)) / (x-π) 2π = (y-π ^ 2) / (x-π ) 2π (x-π) = y-π ^ 2 y = 2πx-2π ^ 2 + π ^ 2 y = 2πx-π ^ 2 Czytaj więcej »

Zasadniczo substytucja trig jest używana dla całek postaci x ^ 2 + -a ^ 2 lub sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2), podczas gdy podstawienie u jest używane, gdy funkcja i jej pochodna pojawiają się w całce. Uważam, że oba typy podstawień są bardzo fascynujące ze względu na ich rozumowanie. Rozważ, po pierwsze, substytucję trig. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa i tożsamości Pitagorasa, prawdopodobnie dwóch najważniejszych pojęć w trygonometrii. Używamy tego, gdy mamy coś takiego: x ^ 2 + a ^ 2-> gdzie a jest stałą sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> ponownie zakładając, że a jest stałe Widzimy, że te dwa wyglądają okropnie jak ^ 2 + b ^ Czytaj więcej »

Jeśli współrzędna kartezjańska lub prostokątna punktu to (x, y), a jego biegunowa współrzędna biegunowa to (r, theta), to x = rcostheta i y = rsintheta tutaj r = 2 i theta = pi / 4 x = 2 * cos (pi / 4) = 2 * 1 / sqrt2 = sqrt2 y = 2 * sin (pi / 4) = 2 * 1 / sqrt2 = sqrt2 Więc współrzędna kartezjańska = (sqrt2, sqrt2) Czytaj więcej »

Tylko absolutne minimum w (root (5) (3/4), 13.7926682045768 ......) Będziesz mieć względne maksima i minima w wartościach, w których pochodna funkcji wynosi 0. f '(x) = 32x ^ 7-24x ^ 2 = 8x ^ 2 (4x ^ 5-3) Zakładając, że mamy do czynienia z liczbami rzeczywistymi, zera pochodnej będą: 0 i root (5) (3/4) Teraz musimy obliczyć druga pochodna, aby zobaczyć, jaki rodzaj ekstremów te wartości odpowiadają: f '(x) = 224x ^ 6-48x = 16x (14x ^ 5-3) f' '(0) = 0 -> punkt przegięcia f' '(korzeń (5) (3/4)) = 16root (5) (3/4) (14xx (3/4) -3) = 120root (5) (3/4)> 0-> minimum względne, które Czytaj więcej »

Jest to int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~~ 7.2091 Czytaj więcej »

Przypuśćmy, że masz na myśli ln (x) ^ 2 = (lnx) ^ 2 Musisz dwukrotnie zintegrować części.Odpowiedź brzmi: x ^ 2/2 (ln (x) ^ 2-lnx + 1/2) + c Załóżmy, że masz na myśli ln (x) ^ 2 = ln (x ^ 2) Musisz raz zintegrować części. Odpowiedź brzmi: x ^ 2 (lnx-1/2) + c Załóżmy, że masz na myśli ln (x) ^ 2 = (lnx) ^ 2 intxln (x) ^ 2dx = = int (x ^ 2/2) 'ln (x ) ^ 2dx = = x ^ 2 / 2ln (x) ^ 2-intx ^ 2/2 (ln (x) ^ 2) 'dx = = x ^ 2 / 2ln (x) ^ 2-intx ^ anuluj (2) / cancel (2) * anuluj (2) lnx * 1 / anuluj (x) dx = = x ^ 2 / 2ln (x) ^ 2-intxlnxdx = = x ^ 2 / 2ln (x) ^ 2-int (x ^ 2/2) 'lnxdx = = x ^ 2 / 2ln (x) ^ 2- (x Czytaj więcej »

Użyj podstawienia u, aby uzyskać -3lnabs (łóżeczko (t)) + C. Po pierwsze, zauważ, że ponieważ 3 jest stałą, możemy ją wyciągnąć z całki, aby uprościć: 3int (csc ^ 2 (t)) / łóżeczko (t) dt Teraz - i to jest najważniejsza część - zauważ, że pochodna cot (t) to -csc ^ 2 (t). Ponieważ mamy funkcję i jej pochodną obecne w tej samej całce, możemy zastosować au podstawienie tak: u = cot (t) (du) / dt = -csc ^ 2 (t) du = -csc ^ 2 (t) dt Możemy przekonwertować dodatni csc ^ 2 (t) na ujemny w następujący sposób: -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt I zastosować substytucję: -3int (du) / u Wiemy, że int (du) / u = lnabs ( Czytaj więcej »

Nachylenie linii normalnej do linii stycznej m = 1 / ((1 + sqrt (2) / 2) sqrt (2 + sqrt2) + ((3sqrt2) / 2 + 1) sqrt (2-sqrt2) m = 0,18039870004873 Z podanego: y = sec x + sin (2x- (3pi) / 8) w „” x = (11pi) / 8 Weź pierwszą pochodną y 'y' = sec x * tan x * (dx) / (dx) + cos (2x- (3pi) / 8) (2) (dx) / (dx) Używanie „” x = (11pi) / 8 Zwróć uwagę: że kolor (niebieski) („Wzory pół-kąta”), nastepujace sa uzyskiwane sec ((11pi) / 8) = - sqrt (2 + sqrt2) -sqrt (2-sqrt2) tan ((11pi) / 8) = sqrt2 + 1 i 2 * cos (2x- (3pi) / 8 ) = 2 * cos ((19pi) / 8) = 2 * (sqrt2 / 4) (sqrt (2 + sqrt2) -sqrt (2-sqrt2)) ~~~~~~~~~~~~ Czytaj więcej »

Istnieją dwa maksymalne punkty (pi / 6, 5/4) = (0,523599, 1,25) "" "i ((5pi) / 6, 5/4) = (2.61799, 1.25) Jest jeden minimalny punkt (pi / 2 , 1) = (1.57, 1) "" Niech podane przez y = sin x + cos ^ 2 x Ustal pierwszą pochodną dy / dx, a następnie zrównaj do zera, to jest dy / dx = 0 Zacznijmy od podanego y = sin x + cos ^ 2 x = sin x + (cos x) ^ 2 d / dx (y) = d / dx (sin x) + d / dx (cos x) ^ 2 dy / dx = cos x * dx / dx + 2 * (cos x) ^ ((2-1)) * d / dx (cos x) dy / dx = cos x * 1 + 2 * (cos x) ^ 1 * (- sin x) * dx / dx dy / dx = cos x-2 * sin x * cos x * 1 dy / dx = cos x-2 * sin x * cos x Zr& Czytaj więcej »

Punkty, gdzie f '(x) = 0 x = -4 x = -1 x = 2 Niezdefiniowane punkty x = -6.0572 x = -1.48239 x = -0.168921 Jeśli weźmiesz pochodną funkcji, otrzymasz: f '(x) = (2x ^ 3 + 12x ^ 2) / (x + 4) ^ 2 + (x ^ 2 + 2x) / (x + 1) ^ 2 + 2 / (x-2) ^ 2 Podczas gdy pochodna może wynosić zero, funkcja ta jest zbyt trudna do rozwiązania bez pomocy komputera. Jednak niezdefiniowanymi punktami są te, które niwelują ułamek. Dlatego trzy punkty krytyczne to: x = -4 x = -1 x = 2 Używając Wolfram otrzymałem odpowiedzi: x = -6.0572 x = -1.48239 x = -0.168921 A oto wykres, aby pokazać, jak to trudne ma rozwiązać: wykres {(2x ^ 3 + 12x Czytaj więcej »

Po prostu skorzystaj z a ^ 2-b ^ 2 = (ab) (a + b) Odpowiedź brzmi: f '(x) = 1 / (2sqrt (x-3)) f (x) = sqrt (x-3) ) f '(x) = lim_ (h-> 0) (sqrt (x + h-3) -sqrt (x-3)) / h = = lim_ (h-> 0) ((sqrt (x + h- 3) -sqrt (x-3)) * (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3))) / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0) (sqrt (x + h-3) ^ 2-sqrt (x-3) ^ 2) / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3)) ) = = lim_ (h-> 0) (x + h-3-x-3) / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0 ) h / (h (sqrt (x + h-3) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0) anuluj (h) / (anuluj (h) (sqrt (x + h-3) ) + sqrt (x-3))) = = lim_ (h-> 0) 1 / ((sqr Czytaj więcej »

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Rozwiązywanie pierwotnych trygonometrów zazwyczaj polega na zerwaniu całki w dół w celu zastosowania tożsamości pitagorejskich, a przy użyciu podstawienia u. Dokładnie to zrobimy tutaj. Zacznij od przepisania inttan ^ 4xdx jako inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Teraz możemy zastosować tożsamość pitagorejską tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x lub tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Dystrybucja tan ^ 2x : kolor (biały) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Zastosowanie reguły sumy: kolor (biały) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Ocenimy te całki po kolei. Pierws Czytaj więcej »

G '(x) = d / dxg (x) = 50x ^ 4 + 80x ^ 3-33x ^ 2 + 24x + 2 Dla pochodnej produktu mamy wzór d / dx (uv) = u dv / dx + v du / dx Z podanego g (x) = (2x ^ 2 + 4x-3) (5x ^ 3 + 2x + 2) Dajemy u = 2x ^ 2 + 4x-3 i v = 5x ^ 3 + 2x + 2 d / dx (g (x)) = (2x ^ 2 + 4x-3) d / dx (5x ^ 3 + 2x + 2) + (5x ^ 3 + 2x + 2) d / dx (2x ^ 2 + 4x -3) d / dx (g (x)) = (2x ^ 2 + 4x-3) (15x ^ 2 + 2) + (5x ^ 3 + 2x + 2) (4x + 4) Rozwiń, aby uprościć d / dx (g (x)) = (2x ^ 2 + 4x-3) (15x ^ 2 + 2) + (5x ^ 3 + 2x + 2) (4x + 4) d / dx (g (x)) = 30x ^ 4 + 4x ^ 2 + 60x ^ 3 + 8x-45x ^ 2-6 + 20x ^ 4 + 20x ^ 3 + 8x ^ 2 + 8x + 8x + 8 Połącz jak termi Czytaj więcej »

Int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o Ustaw równanie do rozwiązania dla zmiennych A, B, C int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2) dx Rozwiążmy najpierw A, B, C (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1 ) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 LCD = (x-1) (x + 1) ^ 2 (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) Uprość (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B ( x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) Czytaj więcej »

Równanie linii stycznej y-1/2 + sqrt (3) / 2 * e ^ (pi / 3) = - 1/2 (sqrt (3) + e ^ (pi / 3) + sqrt (3) e ^ (pi / 3)) (x-pi / 3) Zaczynamy od podanego równania f (x) = cos xe ^ x sin x Rozwiążmy dla punktu styczności pierwszy f (pi / 3) = cos (pi / 3) -e ^ (pi / 3) sin (pi / 3) f (pi / 3) = 1/2-e ^ (pi / 3) sqrt (3) / 2 Rozwiążmy nachylenie m teraz f ( x) = cos xe ^ x sin x Znajdź pierwszą pochodną pierwszy f '(x) = d / dx (cos xe ^ x sin x) f' (x) = - sin x- [e ^ x * cos x + sin x * e ^ x * 1] Nachylenie m = f '(pi / 3) = - sin (pi / 3) - [e ^ (pi / 3) cos (pi / 3) + sin (pi / 3) * e ^ (pi / 3)] m = Czytaj więcej »

P_1P_2 = sqrt (53-28cos ((pi) / 8)) ~~ 5.209 P_1P_2 = sqrt (r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2-2r_1r_2cos (theta_2-theta_1)) r_1 = 7, theta_1 = (5pi) / 4; r_2 = 2, theta_2 = (9pi) / 8 P_1P_2 = sqrt (7 ^ 2 + 2 ^ 2-2 * 7 * 2cos ((9pi) / 8- (5pi) / 4)) P_1P_2 = sqrt (49 + 4-28cos (- (pi) / 8) P_1P_2 = sqrt (53-28cos ((pi) / 8)) ~~ 5.209 Czytaj więcej »

Int sqrt (3 (1-x ^ 2)) dx = sqrt3 / 4sin2theta + sqrt3 / 2 theta + C x = sintheta, dx = cos theta d theta intsqrt (3 (1-sin ^ 2theta)) * cos theta d theta = intsqrt (3 (cos ^ 2theta)) cos theta d theta = intsqrt3 cos theta cos theta d theta = sqrt 3intcos ^ 2 theta d theta = sqrt3 int1 / 2 (cos2 theta + 1) d theta = sqrt3 / 2 int (cos2 theta + 1) d theta = sqrt3 / 2 [1/2 sin2theta + theta] = sqrt3 / 4sin2theta + sqrt3 / 2 theta + C Czytaj więcej »

Lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo Niech y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 lny = ln ( (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) lny = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 lny = 2xlne + ln (sin (1 / x) )) - 2lnx lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx lim_ (x-> oo) [lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx] lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) [2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx] lim_ (x-> oo) lny = oo e ^ lny = e ^ oo y = oo Czytaj więcej »

Wykonaj dużo algebry po zastosowaniu definicji limitu, aby stwierdzić, że nachylenie przy x = 3 wynosi 13. Definicja granicy pochodnej jest następująca: f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h Jeśli oceniamy ten limit dla 3x ^ 2-5x + 2, otrzymamy wyrażenie dla pochodnej tej funkcji. Pochodna jest po prostu nachyleniem linii stycznej w punkcie; więc ocena pochodnej przy x = 3 da nam nachylenie linii stycznej przy x = 3. Powiedziawszy to, zacznijmy: f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h f& Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 2 ^ -) (x ^ 2-2x) / (x ^ 2-4x + 4) = -oo lim_ (x-> 2 ^ -) (x (x-2)) / ((x -2) (x-2)) lim_ (x-> 2 ^ -) x / (x-2) Jeśli wprowadzimy wartości bliskie 2 z lewej strony 2 jak 1.9, 1.99..etc, widzimy, że nasza odpowiedź staje się większy w kierunku ujemnym, osiągając ujemną nieskończoność. lim_ (x-> 2 ^ -) x / (x-2) = -oo Jeśli wyrysujesz to tak dobrze, zobaczysz, że gdy x dochodzi do 2 z lewego y spada bez ograniczenia do ujemnej nieskończoności. Możesz również użyć reguły L'Hopital, ale będzie to ta sama odpowiedź. Czytaj więcej »

Ω = 5 / 12m ^ 2 Ω = int_0 ^ 1 (root (3) (x) -x ^ 2) dx = int_0 ^ 1root (3) (x) dx-int_0 ^ 1x ^ 2dx = int_0 ^ 1x ^ (1 / 3) dx-int_0 ^ 1x ^ 2dx = [3 / 4x ^ (4/3)] _ 0 ^ 1- [x ^ 3/3] _0 ^ 1 3 / 4-1 / 3 = 5 / 12m ^ 2 Czytaj więcej »

Y = (e ^ 4 / ln4-e ^ 4 / (4ln ^ 2 (4)) - 1) x-4 + e ^ 4 / ln4-4 (e ^ 4 / ln4-e ^ 4 / (4l ^ 2 (4)) - 1) f (x) = e ^ x / lnx-x, D_f = (0,1) uu (1, + oo) f '(x) = (e ^ xlnx-e ^ x / x ) / (lnx) ^ 2-1 = (e ^ x (xlnx-1)) / (x (lnx) ^ 2) -1 = e ^ x / lnx-e ^ x / (xln ^ 2x) -1 The równanie linii stycznej w M (4, f (4)) będzie miało wartość yf (4) = f '(4) (x-4) <=> ye ^ 4 / ln4 + 4 = (e ^ 4 / ln4- e ^ 4 / (4ln ^ 2 (4)) - 1) (x-4) = y = (e ^ 4 / ln4-e ^ 4 / (4ln ^ 2 (4)) - 1) x-4 + e ^ 4 / ln4-4 (e ^ 4 / ln4-e ^ 4 / (4ln ^ 2 (4)) - 1) Czytaj więcej »

Możesz użyć rachunku różniczkowego i spędzić kilka minut na tym problemie lub możesz użyć algebry i spędzić kilka sekund, ale w każdym razie otrzymasz dy / dx = -1. Zacznij od przyjęcia pochodnej w odniesieniu do obu stron: d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 Po lewej stronie mamy pochodną stałej - czyli tylko 0. To zrywa problem do: 0 = d / dx (x + y) ^ 2 Aby ocenić d / dx (x + y) ^ 2, musimy użyć reguły mocy i reguły łańcucha: d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) Uwaga: mnożymy przez (x + y)', ponieważ reguła łańcucha mówi nam, że musimy pomnożyć pochodną całej funkcji (w tym przypadku (x + y) Czytaj więcej »

Faktoryzuj maksymalną moc x i anuluj wspólne czynniki nominatora i licznika. Odpowiedź brzmi: lim_ (x-> oo) grzech ((x-1) / (2 + x ^ 2)) = 0 lim_ (x-> oo) grzech ((x-1) / (2 + x ^ 2) ) lim_ (x-> oo) grzech ((1 * x-1 * x / x) / (2 * x ^ 2 / x ^ 2 + 1 * x ^ 2)) lim_ (x-> oo) grzech (( x * (1-1 / x)) / (x ^ 2 * (2 / x ^ 2 + 1))) lim_ (x-> oo) sin ((anuluj (x) (1-1 / x)) / (x ^ anuluj (2) (2 / x ^ 2 + 1))) lim_ (x-> oo) sin ((1-1 / x) / (x (2 / x ^ 2 + 1))) Teraz ty może wreszcie przyjąć limit, zauważając, że 1 / oo = 0: grzech ((1-0) / (oo * (0 + 1))) sin (1 / oo) sin0 0 Czytaj więcej »

DNE-nie istnieje lim_ (x -> - 6) 1 / ((x + 6) (x-1)) = 1 / (0 * -7) = 1/0 DNE Czytaj więcej »

Y = 1 / 2x + 2 f (x) = x + 2 / x, D_f = RR * = (- oo, 0) uu (0, + oo) Dla x! = 0 mamy f '(x) = ( x + 2 / x) '= 1-2 / x ^ 2 Równanie linii stycznej przy M (2, f (2)) będzie równe yf (2) = f' (2) (x-2) <= > y-3 = (1-2 / 4) (x-2) <=> y-3 = 1/2 (x-2) <=> y = 1 / 2x + 2 # Czytaj więcej »

Użyj reguły reguły i łańcucha. Odpowiedź brzmi: f '(x) = (3x ^ 3lnx ^ 2-2 (lnx) ^ 2-2x ^ 3) / (x (lnx ^ 2) ^ 2) Jest to wersja uproszczona. Zobacz Wyjaśnienie, aby obejrzeć, do którego momentu można go zaakceptować jako pochodną. f (x) = (x ^ 3- (lnx) ^ 2) / lnx ^ 2 f '(x) = ((x ^ 3- (lnx) ^ 2)' * lnx ^ 2- (x ^ 3- ( lnx) ^ 2) (lnx ^ 2) ') / (lnx ^ 2) ^ 2 f' (x) = ((3x ^ 2-2lnx * (lnx) ') * lnx ^ 2- (x ^ 3- ( lnx) ^ 2) 1 / x ^ 2 (x ^ 2) ') / (lnx ^ 2) ^ 2 f' (x) = ((3x ^ 2-2lnx * 1 / x) * lnx ^ 2- (x ^ 3- (lnx) ^ 2) 1 / x ^ 2 * 2x) / (lnx ^ 2) ^ 2 W tej formie jest to rzeczywiście dopusz Czytaj więcej »

Kolor (czerwony) (y - ((sqrt2 + sqrt6)) / 4 = - ((sqrt2 + sqrt6)) / 5 * (x-pi / 3) Biorąc pod uwagę f (x) = cos (5x + pi / 4) w x_1 = pi / 3 Rozwiąż punkt (x_1, y_1) f (pi / 3) = cos ((5 * pi) / 3 + pi / 4) = (sqrt2 + sqrt6) / 4 punkt (x_1, y_1) = (pi / 3, (sqrt2 + sqrt6) / 4) Rozwiąż dla nachylenia mf '(x) = - 5 * sin (5x + pi / 4) m = -5 * sin ((5pi) / 3 + pi / 4 ) m = (- 5 (sqrt2-sqrt6)) / 4 dla linii normalnej m_n m_n = -1 / m = -1 / ((- 5 (sqrt2-sqrt6)) / 4) = 4 / (5 (sqrt2- sqrt6)) m_n = - (sqrt2 + sqrt6) / 5 Rozwiąż normalną linię y-y_1 = m_n (x-x_1) kolor (czerwony) (y - ((sqrt2 + sqrt6)) / 4 = - ((sqrt2 + sqrt Czytaj więcej »

-2x ^ 2cos (3x) + (4xsin (3x)) / 3+ (4cos (3x)) / 9 + C Najpierw obliczmy 6, aby zostawić nas z intx ^ 2sin (3x) dx Integracja według części: intvu ' = uv-intuv 'u' = sin (3x), u = -cos (3x) / 3 v = x ^ 2, v '= 2x 6 (- (x ^ 2cos (3x)) / 3 + 2 / 3intxcos ( 3x) dx) u '= cos (3x), u = sin (3x) / 3 v = x, v' = 1 6 (- (x ^ 2cos (3x)) / 3 + 2/3 ((xsin (3x) )) / 3-intsin (3x) / 3dx)) 6 (- (x ^ 2cos (3x)) / 3 + 2/3 ((xsin (3x)) / 3 + cos (3x) / 9)) -2x ^ 2 cos (3x) + (4xsin (3x)) / 3+ (4 cosy (3 x)) / 9 + C Czytaj więcej »

Int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 Moje rozwiązanie jest według reguły Simpsona, Wzór aproksymacji int_a ^ przez * dx ~ = h / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ..... + 4 * y_ (n-1) + y_n) Gdzie h = (ba) / n i b górna granica i dolna granica i n dowolna parzysta liczba (im większa, tym lepiej) Wybrałem n = 20 podany b = pi / 4 i a = 0 h = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 To jest jak obliczyć. Każdy y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) użyje innej wartości dla y_0 x_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 Czytaj więcej »

Kolor (czerwony) („Obszar A” = 25,303335481 „” „jednostki kwadratowe”) Dla współrzędnych biegunowych formuła dla obszaru A: Biorąc pod uwagę r = theta-theta * sin ((7theta) / 8) -cos ((5theta) / 3 + pi / 3) A = 1/2 int_alpha ^ beta r ^ 2 * d theta A = 1/2 int_ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) (theta-theta * sin ((7theta) / 8) -cos ((5theta) / 3 + pi / 3)) ^ 2 d theta A = 1/2 int_ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) [theta ^ 2 + theta ^ 2 * sin ^ 2 ((7theta) / 8) + cos ^ 2 ((5theta) / 3 + pi / 3) -2 * theta ^ 2 * sin ((7theta) / 8) + 2 * theta * cos ((5theta) / 3 + pi / 3) * sin ((7theta) / 8) -2 * theta * cos ((5theta) / 3 + pi / 3)] d thet Czytaj więcej »

Dwukrotne użycie reguły łańcuchowej i zastosowanie drugiej reguły pochodnej. Pierwsza pochodna 2sin (lnx) * cos (lnx) * 1 / x Druga pochodna (2cos (2lnx) -sin (2lnx)) / x ^ 2 Pierwsza pochodna (sin ^ 2 (lnx)) '2sin (lnx) * (sin (lnx)) '2sin (lnx) * cos (lnx) (lnx)' 2sin (lnx) * cos (lnx) * 1 / x Chociaż jest to dopuszczalne, aby ułatwić tworzenie drugiej pochodnej, można użyć tożsamości trygonometrycznej: 2sinθcosθ = sin (2θ) Dlatego: (sin ^ 2 (lnx)) '= sin (2lnx) / x Druga pochodna (sin (2lnx) / x)' (sin (2lnx) 'x-sin (2lnx) (x) ') / x ^ 2 (cos (2lnx) (2lnx)' x-sin (2lnx) * 1) / x ^ 2 (cos Czytaj więcej »

Biorąc pod uwagę y = f (x), f '(x) = lim_ (hto0) (f (x + h) -f (x)) / h f' (x) = lim_ (hto0) (tanh (x + h) -tan (x)) / h f '(x) = lim_ (hto0) ((tanh (x) + tanh (h)) / (1 + tanh (x) tanh (h)) - tan (x)) / h f '(x) = lim_ (hto0) ((tanh (x) + tanh (h)) / (1 + tanh (x) tanh (h)) - (tanh (x) + tanh (h) tanh ^ 2 (x)) / (1 + tanh (x) tanh (h))) / h f '(x) = lim_ (hto0) ((tanh (x) + tanh (h) -tanh (x) -tanh (h ) tanh ^ 2 (x)) / (1 + tanh (x) tanh (h))) / h f '(x) = lim_ (hto0) (tanh (x) + tanh (h) -tanh (x) - tanh (h) tanh ^ 2 (x)) / (h (1 + tanh (x) tanh (h))) f '(x) = lim_ (hto0) (tanh (h) -tanh (h) t Czytaj więcej »

Zacznij od -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) Zastąpmy sieczkę cosinusem. -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) Teraz bierzemy pochodną wrt x na BOTH SIDES! d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) Pochodna stałej wynosi zero, a pochodna jest liniowa! 0 = d / dx (xy ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) Teraz za pomocą reguły produktu tylko na pierwszym mamy dwa terminy! 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y ) -d / dx (1 / cos (xy)) Następne mnóstwo i dużo zabawy z regułą łańcucha! Obejrzyj ostatni termin Czytaj więcej »

0 f (x) = x ^ 3-x jest funkcją nieparzystą. Sprawdza f (x) = -f (-x) więc int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 Czytaj więcej »

Ogólne rozwiązanie: kolor (czerwony) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" Szczególne rozwiązanie: kolor (niebieski) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) Z podanego równania różniczkowego y '(x) = sqrt (4y (x) +13) zwróć uwagę, że y' (x) = dy / dx i y (x) = y, dlatego dy / dx = sqrt (4y + 13) dziel obie strony przez sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) dy / dx (1 / sqrt (4y + 13) )) = 1 Pomnóż obie strony przez dx dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 anuluj (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 dy / sqrt (4y + 13) = dx transpo Czytaj więcej »

Zrób trochę faktoringu, aby uzyskać lim_ (x -> - oo) = - 1/2. Kiedy mamy do czynienia z ograniczeniami w nieskończoności, zawsze pomocne jest uwzględnienie x, lub x ^ 2, lub dowolnej mocy x upraszczającej problem. W tym przypadku wyodrębnijmy x ^ 2 z licznika i x z mianownika: lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt (( x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) Tutaj zaczyna się interesować. Dla x> 0, sqrt (x ^ 2) jest dodatni; jednak dla x <0, sqrt (x ^ 2) jest ujemne. W kategoriach matematycznych: sqrt (x ^ 2) = abs (x) dla x> 0 sqrt (x ^ Czytaj więcej »

Ponieważ ln nie może ci pomóc, ustaw mianownik ze względu na jego prostą formę jako zmienną. Po rozwiązaniu całki wystarczy ustawić x = 2, aby dopasować f (2) w równaniu i znaleźć stałą całkowania. Odpowiedź brzmi: f (x) = x + ln | x-1 | -2 f (x) = intx / (x-1) dx Funkcja ln nie pomoże w tym przypadku. Jednakże, ponieważ mianownik jest dość prosty (1 stopień): Zestaw u = x-1 => x = u + 1 i (du) / dx = d (x + 1) / dx = (x + 1) '= 1 => (du) / dx = 1 <=> du = dx intx / (x-1) dx = int (u + 1) / (u) du = int (u / u + 1 / u) du = = int (1 + 1 / u) du = int1du + int (du) / u = u + ln | u | + c Zastępując Czytaj więcej »

Najpierw używasz reguły produkcji, aby uzyskać d / dx f (x) = (d / dx (xe ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) Następnie użyj liniowości pochodnych i pochodnych definicji do uzyskania d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx Reguła produktu obejmuje przyjęcie pochodnej funkcji, która jest wielokrotnością dwóch (lub więcej) funkcji , w postaci f (x) = g (x) * h (x). Regułą produktu jest d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)). Zastosowanie go do naszej funkcji, f (x) = (xe ^ x) (cosx + 2sinx) Mamy d / dx f (x) = (d / dx (xe ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x Czytaj więcej »

-4 / (x + 3) ^ 2 1. Musielibyśmy użyć reguł pochodnych. A. Reguła stała B. Reguła mocy C. Reguła sumy i różnicy D. Reguła kwotowania Zastosuj określone reguły d / dx (4) = 0 d / dx (x + 3) = 1 + 0 Teraz ustaw regułę Quotent dla cała funkcja: ((0) (x + 3) - (4) (1)) / (x + 3) ^ 2 upraszcza i dostajesz: -4 / (x + 3) ^ 2 Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x + x) ^ (1 / x) = e ^ 2 lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x + x) ^ (1 / x) (e ^ x + x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (e ^ x + x) ^ (1 / x)) = e ^ (ln (e ^ x + x) / x) lim_ (x-> 0 ^ +) ln (e ^ x + x) / x = _ (DLH) ^ ((0/0)) lim_ (x-> 0 ^ +) ((ln (e ^ x + x)) ') / ((x) ') = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x + 1) / (e ^ x + x) = 2 Dlatego lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x + x ) ^ (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ (ln (e ^ x + x) / x) = Ustaw ln (e ^ x + x) / x = u x-> 0 ^ + u-> 2 = lim_ (u-> 2) e ^ u = e ^ 2 Czytaj więcej »

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2, aby znaleźć pierwszą pochodną, musimy po prostu użyć trzech reguł: 1. Reguła mocy d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Reguła stała d / dx (c) = 0 (gdzie c jest liczbą całkowitą, a nie zmienną) 3. Reguła sumy i różnicy d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] pierwsza pochodna powoduje: 4x ^ 3-0, co upraszcza do 4x ^ 3, aby znaleźć drugą pochodną, musimy wyprowadzić pierwszą pochodną, ponownie stosując regułę mocy, która powoduje : 12x ^ 3 możesz kontynuować, jeśli chcesz: trzecia pochodna = 36x ^ 2 czwarta pochodna = 72x piąta pochodna = 72 sz Czytaj więcej »

Korzystając z reguł pochodnych, stwierdzamy, że odpowiedź brzmi (24x ^ 4-8x ^ 3 + 3) / (4x-1) ^ 2 Reguły pochodne, których musimy użyć tutaj, to: a. Zasada zasilania b. Stała reguła c. Zasada sumy i różnicy d. Reguła przydziału Oznacz i wyprowadź licznik i mianownik f (x) = 2x ^ 4-3x g (x) = 4x-1 Stosując regułę mocy, regułę stałą i reguły sumy i różnicy, możemy łatwo uzyskać obie te funkcje : f ^ '(x) = 8x ^ 3-3 g ^' (x) = 4 w tym momencie użyjemy reguły Ilorazu, która jest: [(f (x)) / (g (x))] ^ ' = (f ^ '(x) g (x) -f (x) g ^' (x)) / [g (x)] ^ 2 Podłącz swoje przedmioty: ((8x ^ 3-3 Czytaj więcej »

= lim_ (xrarr3 ^ +) 9 lim_ (xrarr3 ^ +) x ^ 2 jest to prosty problem z limitem, gdzie możesz po prostu podłączyć 3 i ocenić. Ten typ funkcji (x ^ 2) jest funkcją ciągłą, która nie będzie miała żadnych przerw, kroków, skoków ani dziur. ewaluacja: lim_ (xrarr3 ^ +) 3 ^ 2 = lim_ (xrarr3 ^ +) 9, aby wizualnie zobaczyć odpowiedź, zobacz poniższy wykres, gdy x zbliży się do 3 z prawej strony (strona dodatnia), osiągnie punkt ( 3,9), więc nasz limit 9. Czytaj więcej »

V (pi / 3) = 1 / 3sqrt (4pi ^ 2 + 9cos ^ 2 (pi / 12) + pisin ^ 2 (pi / 12) + 6picos (pi / 12) sin (pi / 12)) Równanie f ( t) = (t ^ 2; tcos (t (5pi) / 4)) podaje współrzędne obiektu w odniesieniu do czasu: x (t) = t ^ 2 y (t) = tcos (t (5pi) / 4) Aby znaleźć v (t), musisz znaleźć v_x (t) i v_y (t) v_x (t) = (dx (t)) / dt = (dt ^ 2) / dt = 2t v_y (t) = ( d (tcos (t (5pi) / 4))) / dt = cos (t (5pi) / 4) -tsin (t (5pi) / 4) Teraz musisz zastąpić t pi / 3 v_x ( pi / 3) = (2pi) / 3 v_y (pi / 3) = cos (pi / 3- (5pi) / 4) -pi / 3 cdot sin (pi / 3- (5pi) / 4) = cos (( 4pi-15pi) / 12) -pi / 3 cdot sin ((4pi-15pi) / 12) = Czytaj więcej »

Y = -xf (x) = (x-2) / ((x-2) (x + 2)) (a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab)) f (x) = 1 / (x + 2) = (x + 2) ^ - 1 f '(x) = - (x + 2) ^ - 2 f' (- 1) = - (- 1 + 2) ^ - 2 = - ( 1) ^ - 2 = -1 f (-1) = (- 1 + 2) ^ - 1 = 1 ^ -1 = 1 y-y_0 = m (x-x_0) y-1 = -1 (x + 1 ) y-1 = -x-1 y = -x Czytaj więcej »

Reguła ilorazu: - Jeśli u i v są dwiema funkcjami różniczkowalnymi w x z v! = 0, to y = u / v jest różniczkowalny przy x i dy / dx = (v * du-u * dv) / v ^ 2 Niech y = (cosx) / (1-sinx) Rozróżnij wrt „x” z zastosowaniem reguły ilorazu oznacza dy / dx = ((1-sinx) d / dx (cosx) -cosxd / dx (1-sinx)) / (1-sinx) ^ 2 Ponieważ d / dx (cosx) = - sinx i d / dx (1-sinx) = - cosx Dlatego dy / dx = ((1-sinx) (- sinx) -cosx (-cosx)) / (1-sinx) ^ 2 oznacza dy / dx = (- sinx + sin ^ 2x + cos ^ 2x) / (1-sinx) ^ 2 Od Sin ^ 2x + Cos ^ 2x = 1 Dlatego dy / dx = (1-sinx) / (1-sinx) ^ 2 = 1 / ( 1-Sinx) Zatem pochodna danego wyraż Czytaj więcej »

-sinx Pochodna ilorazu u / vd (u / v) = (u'v-v'u) / v ^ 2 Niech u = (sinx) ^ 2 i v = 1-cosx (d (sinx) ^ 2 ) / dx = 2sin (x) * (dsinx) / dx = 2sinxcosx color (czerwony) (u '= 2sinxcosx) (d (1-cos (x))) / dx = 0 - (- sinx) = sinx color ( czerwony) (v '= sinx) Zastosuj pochodną właściwość dla danego ilorazu: (d (((sinx) ^ 2) / (1-cosx))) / dx = ((2sinxcosx) (1-cosx) -sinx ( sinx) ^ 2) / (1-cosx) ^ 2 = ((2sinxcosx) (1-cosx) -sinx (1- (cosx) ^ 2)) / (1-cosx) ^ 2 = ((2sinxcosx) (1 -cosx) -sinx (1-cosx) (1 + cosx)) / (1-cosx) ^ 2 ((1-cosx) [2sinxcosx-sinx (1 + cosx)]) / (1-cosx) ^ 2 Uprość 1-cosx prowadzi do = (2s Czytaj więcej »

-8sin (8x) Reguła łańcucha jest określana jako: kolor (niebieski) ((f (g (x))) '= f' (g (x)) * g '(x)) Znajdźmy pochodną f ( x) i g (x) f (x) = cos (4x) f (x) = cos (u (x)) Musimy zastosować regułę łańcucha na f (x) Wiedząc o tym (cos (u (x)) ' = u '(x) * (cos' (u (x)) Niech u (x) = 4x u '(x) = 4 f' (x) = u '(x) * cos' (u (x)) kolor (niebieski) (f '(x) = 4 * (- sin (4x)) g (x) = 2x kolor (niebieski) (g' (x) = 2) Zastępowanie wartości na powyższej właściwości: kolor (niebieski ) ((f (g (x))) '= f' (g (x)) * g '(x)) (f (g (x)))' = 4 (-sin (4 * (g (x ))) * 2 (f ( Czytaj więcej »

- (sin7x) / 7- (cos5x) / 5 + C Przed obliczeniem całki uprośćmy wyrażenie trygonometryczne przy użyciu pewnych właściwości trygonometrycznych, które mamy: Zastosowanie właściwości cos, która mówi: cos (pi + alpha) = - cosalpha cos ( 7x + pi) = cos (pi + 7x) Tak, kolor (niebieski) (cos (7x + pi) = - cos7x) Zastosowanie dwóch właściwości grzechu, które mówi: sin (-alpha) = - sinalphaand sin (pi-alfa) = sinalpha Mamy: sin (5x-pi) = sin (- (pi-5x)) = - sin (pi-5x) od sin (-alpha) = - sinalpha -sin (pi-5x) = - sin5x Sincesin ( pi-alpha) = sinalpha Dlatego, kolor (niebieski) (sin (5x-pi) = - sin5x) Czytaj więcej »

Zrób kilka mnożników, zastosuj trochę trig i zakończ, aby otrzymać wynik int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C Jak w przypadku większości problemów tego typu, rozwiążemy go za pomocą sztuczki mnożenia sprzężonego. Za każdym razem, gdy masz coś podzielonego przez coś plus / minus coś (jak w 1 / (cosx-1)), zawsze pomocne jest wypróbowanie mnożenia mnogiego, szczególnie w przypadku funkcji wyzwalających. Zaczniemy od pomnożenia 1 / (cosx-1) przez koniugat cosx-1, który jest cosx + 1: 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) Możesz się zastanawiać, dlaczego Zrób to. Jest tak, że możemy zastosowa Czytaj więcej »

Zrób trochę faktoringu i anuluj, aby uzyskać lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7. W granicach nieskończoności ogólna strategia polega na wykorzystaniu faktu, że lim_ (x-> oo) 1 / x = 0. Zwykle oznacza to faktorowanie x, co będziemy robić tutaj. Rozpocznij od uwzględnienia x licznika i x ^ 2 poza mianownikiem: (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) = (x (8 -14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) Problem dotyczy teraz sqrt (x ^ 2). Jest to odpowiednik abs (x), który jest funkcją fragmentaryczną: abs (x) = {(x, "dla", x> 0), (- x, "dla", x <0):} Poni Czytaj więcej »

Intx ^ 2dx = x ^ 3/3 + C Integracja dowolnej mocy x (takiej jak x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4 itd.) jest stosunkowo prosta: odbywa się to za pomocą reguły odwrotnej mocy. Przypomnij sobie z rachunku różniczkowego, że pochodną funkcji takiej jak x ^ 2 można znaleźć za pomocą poręcznego skrótu. Najpierw przenosimy wykładnik na przód: 2x ^ 2, a następnie zmniejszamy wykładnik o jeden: 2x ^ (2-1) = 2x Ponieważ integracja jest zasadniczo przeciwieństwem różnicowania, całkowanie mocy x powinno być przeciwieństwem wyprowadzania im. Aby to było bardziej jasne, zanotujmy etapy różnicowania x ^ 2: 1. Doprowadź wykładn Czytaj więcej »

Wykonaj mnożenie mnogie i upraszczaj, aby uzyskać lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 Bezpośrednie podstawienie wytwarza nieokreśloną formę 0/0, więc musimy spróbować czegoś innego. Spróbuj pomnożyć (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) przez (1 + cosx) / (1 + cosx): (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) Ta technika jest znana jako mnożenie sprzężone i działa prawie za każdym razem. Chodzi o użycie właściwości różnicy kwadratów (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2, aby uprościć licznik lub mi Czytaj więcej »

Znalazłem: 1/2 [x-sin (x) cos (x)] + c Spróbuj tego: Czytaj więcej »

- (xcos (sqrt (arccosx ^ 2))) / (sqrt (1-x ^ 4) * sqrt (arccosx ^ 2)) Aby odróżnić f (x), musimy rozłożyć go na funkcje, a następnie rozróżnić za pomocą reguły łańcuchowej: Niech: u (x) = arccosx ^ 2 g (x) = sqrt (x) Następnie, f (x) = sin (x) Pochodna funkcji złożonej z wykorzystaniem reguły łańcuchowej jest następująca: color (blue) (( f (g (u (x)))) '= f' (g (u (x))) * g '(u (x)) * u' (x)) Znajdźmy pochodną każdej z powyższych funkcji: u '(x) = - 1 / sqrt (1- (x ^ 2) ^ 2) * 2x kolor (niebieski) (u' (x) = - 1 / (sqrt (1-x ^ 4)) * 2x g ' (x) = 1 / (2sqrt (x)) Podtytuł x przez u (x) ma Czytaj więcej »

(f (g (x))) '= (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) Możemy znaleźć pochodną tej funkcji stosując regułę łańcuchową, która mówi: kolor (niebieski) (( f (g (x))) '= f' (g (x)) * g '(x)) Rozłóżmy daną funkcję na dwie funkcje f (x) i g (x) i znajdźmy ich pochodne w następujący sposób: g (x) = e ^ (4x) + 3x f (x) = ln (x) Znajdźmy pochodną g (x) Znając pochodną wykładniczą, która mówi: (e ^ (u (x))) '= (u (x)) '* e ^ (u (x)) Tak, (e ^ (4x))' = (4x) '* e ^ (4x) = 4e ^ (4x) Następnie, kolor (niebieski) ( g '(x) = 4e ^ (4x) +3) Teraz Znajdźmy f' (x) f '(x) = 1 / Czytaj więcej »

Y - F (1) = 2 sqrt (6) (x - 1) "z F (1) = 1,935" F "(x) = 2 sqrt ((2x) ^ 2 + 2x) = 2 sqrt (4x ^ 2 + 2x) => F '(1) = 2 sqrt (6) „Szukamy prostej o nachyleniu” 2 sqrt (6) ”, która przechodzi przez (1, F (1))." „Problem polega na tym, że nie znamy F (1), chyba że obliczymy„ ”całkę oznaczoną” int_1 ^ 2 sqrt (t ^ 2 + t) ”„ dt ”Musimy zastosować specjalną substytucję, aby rozwiązać tę całkę.” „Możemy tam dotrzeć z podstawieniem” u - t = sqrt (t ^ 2 + t) => (u - t) ^ 2 = t ^ 2 + t => u ^ 2 - 2 ut + anuluj (t ^ 2 ) = anuluj (t ^ 2) + t => t = u ^ 2 / (1 + 2u) => dt / {du} = (2u (u + 1)) Czytaj więcej »

Dy / dx = (1 + lnx) x ^ x y = x ^ x Lny = xlnx Zastosuj niejawne różnicowanie, standardową różnicę i regułę produktu. 1 / y * dy / dx = x * 1 / x + lnx * 1 dy / dx = (1 + lnx) * y Substytut y = x ^ x:. dy / dx = (1 + lnx) x ^ x Czytaj więcej »

Równanie linii stycznej ma postać: y = kolor (pomarańczowy) (a) x + kolor (fioletowy) (b) gdzie a jest nachyleniem tej linii prostej. Aby znaleźć nachylenie tej linii stycznej do f (x) w punkcie x = 5, powinniśmy rozróżnić f (x) f (x) jest ilorazową funkcją postaci (u (x)) / (v (x)) gdzie u (x) = x-3 i v (x) = (x-4) ^ 2 kolor (niebieski) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v ”(x) u ( x)) / (v (x)) ^ 2) u '(x) = x'-3' kolor (czerwony) (u '(x) = 1) v (x) jest funkcją złożoną, więc musimy zastosować reguła łańcucha niech g (x) = x ^ 2 i h (x) = x-4 v (x) = g (h (x)) kolor (czerwony) (v '(x) = g ”(h Czytaj więcej »

Użyj podstawienia u, aby znaleźć inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Zauważ, że pochodną sinx jest cosx, a ponieważ pojawiają się one w tej samej całce, problem ten jest rozwiązywany przez podstawienie u. Niech u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx staje się: inte ^ udu Ta całka ocenia na e ^ u + C (ponieważ pochodna e ^ u to e ^ u). Ale u = sinx, więc: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C Czytaj więcej »

Użyj podstawienia u, aby uzyskać int_0 ^ (pi / 4) e ^ sinx * cosxdx = e ^ (sqrt (2) / 2) -1. Zaczniemy od rozwiązania całki nieokreślonej, a następnie zajmiemy się granicami. W inte ^ sinx * cosxdx mamy sinx i jego pochodną, cosx. Dlatego możemy użyć podstawienia u. Niech u = sinx -> (du) / dx = cosx-> du = cosxdx. Dokonując podstawienia, mamy: inte ^ udu = e ^ u Na koniec, tylny podstawnik u = sinx, aby uzyskać końcowy wynik: e ^ sinx Teraz możemy ocenić to od 0 do pi / 4: [e ^ sinx] _0 ^ ( pi / 4) = (e ^ sin (pi / 4) -e ^ 0) = e ^ (sqrt (2) / 2) -1 ~~ 1,028 Czytaj więcej »

Użyj reguły odwrotnej mocy, aby zintegrować 4x-x ^ 2 z 0 do 4, aby uzyskać powierzchnię 32/3 jednostek. Integracja służy do znalezienia obszaru między krzywą a osią x lub y, a zacieniony obszar jest dokładnie tym obszarem (między krzywą a osią x, w szczególności). Wszystko, co musimy zrobić, to zintegrować 4x-x ^ 2. Musimy także ustalić granice integracji. Z twojego diagramu widzę, że granice są zerami funkcji 4x-x ^ 2; musimy jednak znaleźć wartości liczbowe dla tych zer, które możemy osiągnąć przez uwzględnienie 4x-x ^ 2 i ustawienie go na zero: 4x-x ^ 2 = 0 x (4-x) = 0 x = 0color ( biały) (XX) i kolor (biały) Czytaj więcej »

4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3 Pochodna f (x) może być obliczona przy użyciu reguły łańcuchowej, która mówi: f (x) można zapisać jako funkcje złożone, gdzie: v (x) = e ^ (2x) -3lnx u (x) = x ^ 4 Więc, f (x) = u (v (x)) Zastosowanie reguły łańcuchowej do funkcji złożonej f (x) my mieć: kolor (fioletowy) (f '(x) = u (v (x))' kolor (fioletowy) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) Znajdźmy kolor (fioletowy) (v '(x) Zastosowanie reguły łańcuchowej na pochodnej wykładniczej: kolor (czerwony) ((e ^ (g (x)))' = g '(x) × e ^ (g (x))) Znając pochodną ln (x), któ Czytaj więcej »

Chcesz rozdzielić go za pomocą tożsamości trygonalnych, aby uzyskać ładne, łatwe całki. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Możemy łatwo poradzić sobie z cos ^ 2 (x), zmieniając układ podwójnego kąta cosinusa. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2 cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2 cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Tak, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C Czytaj więcej »

Intlnxdx = xlnx-x + C Całka (pierwotna) lnx jest interesująca, ponieważ proces jej znalezienia nie jest tym, czego można oczekiwać. Będziemy używać integracji przez części, aby znaleźć intlnxdx: intudv = uv-intvdu Gdzie u i v są funkcjami x. Tutaj pozwalamy: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx i dv = dx-> intdv = intdx-> v = x Dokonując niezbędnych podstawień w formule integracji według części, mamy: intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) -> (lnx) (x) -intcancel (x) (1 / cancelxdx) = xlnx-int1dx = xlnx-x + C- > (nie zapomnij o stałej integracji!) Czytaj więcej »

U ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C stosując IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C oznacza C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 Czytaj więcej »

Uprość korzystanie z naturalnych właściwości dziennika, weź pochodną i dodaj kilka ułamków, aby uzyskać d / dxln ((x + 1) / (x-1)) = - 2 / (x ^ 2-1) Pomaga używać naturalnych właściwości dziennika uprościć ln ((x + 1) / (x-1)) na coś nieco mniej skomplikowanego. Możemy użyć właściwości ln (a / b) = lna-lnb, aby zmienić to wyrażenie na: ln (x + 1) -ln (x-1) Biorąc pochodną tego będzie teraz dużo łatwiej. Reguła sumy mówi, że możemy podzielić to na dwie części: d / dxln (x + 1) -d / dxln (x-1) Znamy pochodną lnx = 1 / x, więc pochodna ln (x + 1 ) = 1 / (x + 1) i pochodna ln (x-1) = 1 / (x-1): d / dxln (x + 1) -d / Czytaj więcej »

Kolor (niebieski) (int (1 / (1 + łóżeczko x)) dx =) kolor (niebieski) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) Z podanego int (1 / (1 + cot x)) dx Jeśli całka jest funkcją wymierną funkcji trygonometrycznych, podstawienie z = tan (x / 2) lub jego odpowiednik sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) i cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) i dx = ( 2dz) / (1 + z ^ 2) Rozwiązanie: int (1 / (1 + cot x)) dx int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx int (sin x / (sin x + cos x)) dx int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) Uprość int ((2z) / (1 + z ^ Czytaj więcej »

Znajdź drugą pochodną i sprawdź jej znak. Jest wypukły, jeśli jest pozytywny i wklęsły, jeśli jest negatywny. Wklęsłe dla: x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) Wypukłe dla: x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) f ( x) = xx ^ 2e ^ -x Pierwsza pochodna: f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) f' (x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x Weź e ^ -x jako wspólny czynnik upraszczający następną pochodną: f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) Druga pochodna: f' '(x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) Teraz musi Czytaj więcej »

Zmniejszanie w (-oo, -3), Zwiększanie w [-3, + oo) f (x) = x ^ 3e ^ x, xinRR Zauważamy, że f (0) = 0 f '(x) = (x ^ 3e ^ x) '= 3x ^ 2e ^ x + x ^ 3e ^ x = x ^ 2e ^ x (3 + x) f' (x) = 0 <=> (x = 0, x = -3) Kiedy xin ( -oo, -3) na przykład dla x = -4 otrzymujemy f '(- 4) = - 16 / e ^ 4 <0 Gdy xin (-3,0) na przykład dla x = -2 otrzymujemy f' ( -2) = 4 / e ^ 2> 0 Gdy xin (0, + oo) na przykład dla x = 1 otrzymamy f '(1) = 4e> 0 f jest ciągłe w (-oo, -3] i f' (x) <0, gdy xin (-oo, -3), więc f maleje dokładnie w (-oo, -3) f jest ciągłe w [-3,0] i f '(x)> 0, gdy xin (-3 , 0) więc Czytaj więcej »

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 Z podanego, int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Zaczynamy od uproszczenia integrującego int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + ln x ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3 ^ ( Czytaj więcej »

-xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 Rozpocznij, używając reguły sumy dla całek i dzieląc je na dwie oddzielne całki: intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx Pierwsza z tych mini-całek jest rozwiązywana przy użyciu integracji przez części: Niech u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) Teraz używając formuły całkowania według części intudv = uv-intvdu, mamy: intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx = -xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) Drugim z nich jest przypadek reguły odwrotnej mocy, która stwierdza: intx ^ ndx = (x ^ Czytaj więcej »

Równanie linii stycznej 179x + 25y = 188 Biorąc pod uwagę f (x) = x ^ 2-3x + (3x ^ 3) / (x-7) przy x = 2 rozwiążmy punkt (x_1, y_1) pierwszy f (x ) = x ^ 2-3x + (3x ^ 3) / (x-7) At x = 2 f (2) = (2) ^ 2-3 (2) + (3 (2) ^ 3) / (2- 7) f (2) = 4-6 + 24 / (- 5) f (2) = (- 10-24) / 5 f (2) = - 34/5 (x_1, y_1) = (2, -34) / 5) Obliczmy dla nachylenia przez pochodne f (x) = x ^ 2-3x + (3x ^ 3) / (x-7) f '(x) = 2x-3 + ((x-7) * 9x ^ 2- (3x ^ 3) * 1) / (x-7) ^ 2 Nachylenie m = f '(2) = 2 (2) -3 + ((2-7) * 9 (2) ^ 2- ( 3 (2) ^ 3) * 1) / (2-7) ^ 2 m = 4-3 + (- 180-24) / 25 m = 1-204 / 25 = -179 / 25 Równanie linii styc Czytaj więcej »

Sprawdź poniżej int_0 ^ 2f (x) dx wyraża obszar między osią x'x a liniami x = 0, x = 2. C_f znajduje się wewnątrz dysku koła, co oznacza, że „minimalny” obszar f zostanie podany, gdy C_f jest w dolnym półkolu, a „maksimum”, gdy C_f znajduje się na górnym półkolu. Półkole ma powierzchnię określoną przez A_1 = 1 / 2πr ^ 2 = π / 2m ^ 2 Prostokąt z podstawą 2 i wysokością 1 ma pole podane przez A_2 = 2 * 1 = 2m ^ 2 Minimalny obszar między osią C_f i x'x wynosi A_2-A_1 = 2-π / 2, a maksymalny obszar to A_2 + A_1 = 2 + π / 2 Dlatego 2-π / 2 <= int_0 ^ 2f (x) dx <= 2 + π / 2 Czytaj więcej »

-sqrt (3) Najpierw musisz znaleźć f '(x) stąd (df (x)) / dx = (d [ln (cos (x))]) / dx zastosujemy tutaj regułę łańcucha, więc ( d [ln (cos (x))]) / dx = 1 / cos (x) * (- sinx) ......................... (1) od, (d [ln (x)] / dx = 1 / x i d (cos (x)) / dx = -sinx) i wiemy, że sin (x) / cos (x) = tanx stąd powyższe równanie (1) będzie f '(x) = - tan (x) i, f' (pi / 3) = - (sqrt3) Czytaj więcej »

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4s ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Znając fakt, że tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, możemy przepisać go jako int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, które daje int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Pierwsza całka: Niech u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Druga całka: Niech u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Dlatego int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx Również zauważ, że int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, dając nam w ten sposób 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Zastępując u z pow Czytaj więcej »

Całka oznaczona to 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx. Zawsze istnieje wiele sposobów podejścia do problemów z integracją, ale w ten sposób rozwiązałem ten problem: wiemy, że równanie dla naszego okręgu to: x ^ 2 + y ^ 2 = 25 Oznacza to, że dla dowolnej wartości x możemy określić dwa y wartości powyżej i poniżej tego punktu na osi x za pomocą: y ^ 2 = 25 - x ^ 2 y = sqrt (25-x ^ 2) Jeśli wyobrażamy sobie, że linia narysowana od góry okręgu do dołu ze stałą x wartość w dowolnym punkcie, będzie miała długość dwa razy większą od wartości y podanej w powyższym równaniu. r = 2sqrt (25 - x ^ 2) Ponieważ Czytaj więcej »

Użyj reguł produktu i ilorazów i wykonaj dużo żmudnej algebry, aby uzyskać dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4). Zaczniemy od lewej strony: y ^ 2 / x Aby wziąć pochodną tego, musimy użyć reguły ilorazu: d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 Mamy u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx i v = x-> v' = 1, więc: d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 Teraz dla prawej strony: x ^ 3-3yx ^ 2 Możemy użyć reguły sumy i mnożenia stałej reguły, aby podzielić ją na: d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) Druga z nich będzie wymagać regu Czytaj więcej »

Równanie jest w przybliżeniu: y = 3,34x - 0,27 Aby rozpocząć, musimy określić f '(x), abyśmy wiedzieli, jakie jest nachylenie f (x) w dowolnym punkcie, x. f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) stosując regułę produktu: f' (x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x ) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) Są to standardowe pochodne: d / dx e ^ x = e ^ xd / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) Więc nasz pochodna staje się: f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) Wstawiając daną wartość x, nachylenie w sqrt (pi) wynosi: f' (sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) Jest Czytaj więcej »

Y '' '' = 432 + 48sin (2x) Zastosowanie reguły łańcucha sprawia, że problem jest łatwy, choć nadal wymaga trochę pracy, aby uzyskać odpowiedź: y = 2x ^ 4 + 3sin (2x) + (2x + 1) ^ 4 y '= 8x ^ 3 + 6 cos (2x) +8 (2x + 1) ^ 3 y' '= 24x ^ 2 -12s (2x) +48 (2x + 1) ^ 2 y' '' = 48x - 24cos (2x) +192 (2x + 1) = 432x - 24cos (2x) + 192 Zauważ, że ostatni krok pozwolił nam znacznie uprościć równanie, czyniąc końcową pochodną znacznie łatwiejszą: y '' '' = 432 + 48sin ( 2x) Czytaj więcej »

Lim_ (x-> 4 ^ +) (x + 4) / (x-4) = oo lim_ (x-> 4 ^ +) (x + 4) = 8 dlatego 8lim_ (x-> 4 ^ +) 1 / (x-4) Ponieważ lim_ (x-> 4 ^ +) (x-4) = 0 i wszystkie punkty na podejściu od prawej są większe niż zero, mamy: lim_ (x-> 4 ^ +) 1 / (x-4) = oo oznacza lim_ (x-> 4 ^ +) (x + 4) / (x-4) = oo Czytaj więcej »

E ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + xx ^ 2) Właściwość produktu różniczkowania jest następująca: f (x) = u (x) * v (x) kolor (niebieski) (f '(x) = u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) W podanym wyrażeniu przyjmij u = x i v = e ^ (x- (x ^ 2/2)) We trzeba ocenić u '(x) i v' (x) u '(x) = 1 Znając pochodną wykładniczą, która mówi: (e ^ y)' = y'e ^ y v '(x) = (x- (x ^ 2/2)) 'e ^ (x- (x ^ 2/2)) v' (x) = (1-x) e ^ (x- (x ^ 2/2)) kolor (niebieski) (f '(x) = u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) f' (x) = 1 (e ^ (x- (x ^ 2/2))) + x (1-x) (e ^ (x- (x ^ 2/2))) Biorąc e ^ (x- (x ^ 2/2)) jak Czytaj więcej »

Funkcja jest wklęsła w przedziale {-3, 0}. Odpowiedź można łatwo określić, oglądając wykres: wykres {-sqrt (x ^ 3 - 9x) [-4,8, 6,603, -4,618, 1,086]} Wiemy już, że odpowiedź jest prawdziwa tylko dla przedziałów {-3,0 } i {3, infty}. Inne wartości spowodują powstanie liczby wyimaginowanej, więc znajdują się poza zasięgiem znalezienia wklęsłości lub wypukłości. Interwał {3, infty} nie zmienia kierunku, więc nie może być ani wklęsły, ani wypukły. Zatem jedyną możliwą odpowiedzią jest {-3,0}, która, jak widać na wykresie, jest wklęsła. Czytaj więcej »

Odpowiedzią jest dziwna liczba dziesiętna cos ^ 2 (sqrt (-3)) ~ = 0.02577. Funkcja cosinus rzeczywiście wypisuje tylko ułamki lub liczby całkowite, gdy wprowadzona zostanie pewna wielokrotność pi lub ułamek pi. Na przykład: cos (pi) = -1 cos (pi / 2) = 0 cos (pi / 4) = 1 / sqrt (2) Jeśli nie masz pi na wejściu, masz gwarancję otrzymania wyniku dziesiętnego . Czytaj więcej »

Int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 [12x + 8sin (2x) + sin (4x)] Chociaż początkowo wydaje się być naprawdę irytującą całką, możemy w rzeczywistości wykorzystać tożsamości trig do rozbicia tej całki na serie prostych całek, z którymi jesteśmy bardziej zaznajomieni. Tożsamość, której będziemy używać, to: cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 To pozwala nam manipulować naszym równaniem jako takim: int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x )) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx = 1 / 4int (1+ 2 cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx Możemy teraz zastosować naszą regułę ponownie, aby wyeliminować cos ^ 2 ( Czytaj więcej »

Dy / dx = -sin (cos (cos (x))) sin (cos (x)) sin (x) Jest to początkowo zniechęcający problem, ale w rzeczywistości, przy zrozumieniu zasady łańcucha, jest całkiem prosty. Wiemy, że dla funkcji funkcji takiej jak f (g (x)), reguła łańcucha mówi nam, że: d / dy f (g (x)) = f '(g (x) g ”(x) Stosując reguła ta trzy razy, możemy w rzeczywistości określić ogólną zasadę dla każdej funkcji takiej jak ta, w której f (g (h (x))): d / dy f (g (h (x))) = f '(g (h (x))) g '(h (x)) h' (x) Tak więc stosując tę zasadę, biorąc pod uwagę, że: f (x) = g (x) = h (x) = cos (x) zatem f '(x ) = g (x) = h (x) Czytaj więcej »

Y '= 1 + 12 (x + sin ^ 2 (x)) ^ 11 (1-2sin (x) cos (x)) Ten problem został rozwiązany za pomocą reguły łańcucha: d / dx f (g (x)) = f '(g (x)) * g' (x) y = x + ((x + sin ^ 2 (x)) ^ 3) ^ 4 = x + (x + sin ^ 2 (x)) ^ 12 Biorąc pochodna: (dy) / dx = d / dx x + d / dx (x + sin ^ 2 (x)) ^ 12 = 1 + 12 (x + sin ^ 2 (x)) ^ 11 * (d / dx (x + sin ^ 2 (x))) = 1 + 12 (x + sin ^ 2 (x)) ^ 11 * (d / dx x + d / dx sin ^ 2 (x)) = 1 + 12 (x + sin ^ 2 (x)) ^ 11 * (1 + 2 sin (x) (d / dx sin (x))) = 1 + 12 (x + sin ^ 2 (x)) ^ 11 (1 - 2 sin (x ) cos (x)) Czytaj więcej »

(df (x)) / dx = (-2cos (1 / x ^ 2)) / x ^ 3 Jest to problem z prostą regułą łańcucha. Jest to trochę łatwiejsze, jeśli piszemy równanie jako: f (x) = sin (x ^ -2) To przypomina nam, że 1 / x ^ 2 można rozróżnić w taki sam sposób, jak każdy wielomian, upuszczając wykładnik i zmniejszając to przez jednego. Zastosowanie reguły łańcucha wygląda następująco: d / dx sin (x ^ -2) = cos (x ^ -2) (d / dx x ^ -2) = cos (x ^ -2) (- 2x ^ -3 ) = (-2cos (1 / x ^ 2)) / x ^ 3 Czytaj więcej »

Linia to y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) Ten potwór z równania pochodzi z nieco długiego procesu. Najpierw przedstawię kroki, według których będzie kontynuowana derywacja, a następnie wykonam te kroki. Otrzymujemy funkcję we współrzędnych biegunowych, f (theta). Możemy wziąć pochodną, f '(theta), ale aby faktycznie znaleźć linię we współrzędnych kartezjańskich, będziemy potrzebować dy / dx. Możemy znaleźć dy / dx za pomocą następującego równania: dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (the Czytaj więcej »

Jednym z bardzo powszechnych zastosowań jest określanie funkcji niearytmetycznych w kalkulatorach. Twoje pytanie jest skategoryzowane jako „aplikacje serii mocy”, więc podam ci przykład z tej dziedziny. Jednym z najczęstszych zastosowań serii Power jest obliczanie wyników funkcji, które nie są dobrze zdefiniowane do użytku przez komputery. Przykładem może być sin (x) lub e ^ x. Po podłączeniu jednej z tych funkcji do kalkulatora, kalkulator musi być w stanie obliczyć je za pomocą zainstalowanej w nim jednostki logiki arytmetycznej. To urządzenie na ogół nie może bezpośrednio wykonywać funkcji wykładniczej lu Czytaj więcej »

(df (t)) / dt = (ln (t) + 1, -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t)) Rozróżnienie równania parametrycznego jest tak łatwe, jak rozróżnienie poszczególnych osób równanie dla jego składników. Jeśli f (t) = (x (t), y (t)) to (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt) Więc najpierw określamy nasze pochodne składowe: (dx (t)) / dt = ln (t) + t / t = ln (t) + 1 (dy (t)) / dt = -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t) Dlatego końcowe pochodne krzywej parametrycznej są po prostu wektorem pochodnych: (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt) = (ln (t) + 1, -sin (t) - sin ^ 2 (t) - Czytaj więcej »

F maleje w (-oo, 0), rośnie w [0, + oo) i ma globalne, a więc lokalne minimum przy x = 0, f (0) = 0 f (x) = e ^ 2x ^ 2 graph { e ^ 2x ^ 2 [-5.095, 4.77, -1.34, 3.59]} Domena f to RR Zauważ, że f (0) = 0 Teraz, f '(x) = 2e ^ 2x f' (0) = 0 Wariancja kolor stołu (biały) (aaaa) xcolor (biały) (aaaaaa) -okolor (biały) (aaaaaaaaaaa) 0 kolor (biały) (aaaaaaaaaa) + oo kolor (biały) (aaaa) f '(x) kolor (biały) (aaaaaaaaa ) -color (biały) (aaaaaa) 0color (biały) (aaaaaa) + kolor (biały) (aaaa) f (x) kolor (biały) (aaaaaaaaa) kolor (biały) (aaaaaa) 0color (biały) (aaaaaa) F Więc f maleje w (-oo, 0), rośnie w [0, + oo) i Czytaj więcej »

Równanie linii będzie równe y = 1 / 9x + 137/9. Styczna jest wtedy, gdy pochodna wynosi zero. To jest 4x - 1 = 0. x = 1/4 At x = -2, f '= -9, więc nachylenie normalnego wynosi 1/9. Ponieważ linia przechodzi przez x = -2, jej równanie wynosi y = -1 / 9x + 2/9 Najpierw musimy znać wartość funkcji przy x = -2 f (-2) = 2 * 4 + 2 + 5 = 15 Więc naszym punktem zainteresowania jest (-2, 15). Teraz musimy znać pochodną funkcji: f '(x) = 4x - 1 W końcu będziemy potrzebować wartości pochodnej przy x = -2: f' (- 2) = -9 Liczba -9 byłoby nachyleniem stycznej linii (to znaczy równoległej) do krzywej w pun Czytaj więcej »

Pomaga to wyjaśnić, co dokładnie integrujesz. Dx istnieje, na przykład, zgodnie z konwencją. Przypomnijmy, że definicja całek określonych pochodzi z sumy zawierającej Deltax; kiedy Deltax-> 0, nazywamy to dx. Zmieniając symbole jako takie, matematycy zakładają zupełnie nową koncepcję - a integracja jest rzeczywiście bardzo różna od sumowania. Ale myślę, że prawdziwym powodem, dla którego używamy dx, jest wyjaśnienie, że rzeczywiście integrujesz się z x. Na przykład, gdybyśmy musieli zintegrować x ^ a, a! = - 1, napisalibyśmy intx ^ adx, aby wyjaśnić, że integrujemy się w odniesieniu do x, a nie do. Widzę także Czytaj więcej »

G '(x) = -2xsin (x ^ 2) + 2xln (x) + x Jest to dość standardowy problem dotyczący łańcucha i reguły produktu. Reguła łańcucha stwierdza, że: d / dx f (g (x)) = f '(g (x)) * g' (x) Reguła produktu stanowi, że: d / dx f (x) * g (x) = f '(x) * g (x) + f (g) * g' (x) Łącząc te dwa elementy, możemy łatwo obliczyć g '(x). Ale najpierw zauważmy, że: g (x) = cosx ^ 2 + e ^ (lnx ^ 2) ln (x) = cosx ^ 2 + x ^ 2ln (x) (ponieważ e ^ ln (x) = x). Teraz przechodzimy do określania pochodnej: g '(x) = -2xsin (x ^ 2) + 2xln (x) + (x ^ 2) / x = -2xsin (x ^ 2) + 2xln (x) + x Czytaj więcej »

Maksymalna wartość funkcji to 25/8. Możemy powiedzieć dwie rzeczy na temat tej funkcji, zanim zaczniemy podejść do problemu: 1) Jako x -> -infty lub x -> infty, y -> -infty. Oznacza to, że nasza funkcja będzie miała absolutne maksimum, w przeciwieństwie do maksimum lokalnego lub w ogóle żadnych maksimów. 2) Wielomian ma stopień drugi, co oznacza, że zmienia kierunek tylko raz. Zatem jedynym punktem, w którym zmienia się kierunek, musi być również nasz maksymalny. W przypadku wielomianu o wyższym stopniu może być konieczne obliczenie wielu lokalnych maksimów i określenie, który z nich Czytaj więcej »

Patrz Wyjaśnienie. Biorąc pod uwagę, że: f (x) = (x-3) (x + 2) (x-1):. f (x) = (x ^ 2-x-6) (x-1):. f (x) = (x ^ 3-x ^ 2-6x-x ^ 2 + x + 6):.f (x) = (x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6) Używając testu drugiej pochodnej, Aby funkcja była wklęsła w dół: f '' (x) <0 f (x) = (x ^ 3- 2x ^ 2-5x + 6) f '(x) = 3x ^ 2-4x-5 f' '(x) = 6x-4 Aby funkcja była wklęsła w dół: f' '(x) <0: .6x -4 <0: .3x-2 <0:. kolor (niebieski) (x <2/3) Aby funkcja była wklęsła w górę: f '' (x)> 0 f (x) = (x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6) f '(x) = 3x ^ 2-4x-5 f '' (x) = 6x-4 Aby funkcja była wklęsła w g&# Czytaj więcej »

-5sin5xcot3x-3csc ^ 2 (3x) cos5x Pochodna produktu jest następująca: kolor (niebieski) ((u (x) * v (x)) '= u' (x) * v (x) + v '(x) * u (x)) Take u (x) = cos (5x) i v (x) = łóżeczko (3x) Znajdźmy u' (x) i v '(x) Znając pochodną funkcji trygonometrycznej, która mówi: (przytulny) '= - y'siny i (cot (y))' = -y '(csc ^ 2y) Tak, u' (x) = (cos5x) '= - (5x)' sin5x = -5sin5x v '(x) = (cot3x)' = - (3x) 'csc ^ 2 (3x) = - 3csc ^ 2 (3x) Zatem, kolor (niebieski) (f' (x) = (u (x) * v (x)) ') Zastępując u' (x) i v '(x) w powyższej właściwości mamy: Czytaj więcej »

Przemieszczenie: 20/3 Średnia prędkość = Średnia prędkość = 4/3 Wiemy więc, że v (t) = 4t - t ^ 2. Jestem pewien, że sam możesz narysować wykres. Ponieważ prędkość jest zmianą przemieszczenia obiektu w czasie, z definicji v = dx / dt. Zatem Delta x = int_ (t_a) ^ (t_b) v, biorąc pod uwagę, że Delta x jest przesunięciem od czasu t = t_a do t = t_b. Zatem Delta x = int_1 ^ 5 4t - t ^ 2 = [2t ^ 2 - t ^ 3/3] _1 ^ 5 = (2xx5 ^ 2-5 ^ 3/3) - (2xx1 ^ 2 - 1 ^ 3 / 3) = 20/3. 20/3 metrów? Nie podałeś żadnych jednostek. Średnia prędkość jest definiowana jako odległość podzielona przez czas, który upłynął, a średnia prędkość j Czytaj więcej »