Co jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) iu (0) = - 5?

Odpowiedź:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Wyjaśnienie:

# (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) #

# 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t #

#int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C #

zastosowanie IV

# (- 5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C #

#implikuje C = 25 #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Odpowiedź:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Wyjaśnienie:

Zacznij od pomnożenia obu stron przez # 2u # i # dt # oddzielić równanie różniczkowe:

# 2udu = 2t + sec ^ 2tdt #

Teraz zintegruj:

# int2udu = int2t + sec ^ 2tdt #

Całki te nie są zbyt skomplikowane, ale jeśli masz jakieś pytania, nie bój się pytać. Oceniają:

# u ^ 2 + C = t ^ 2 + C + tan t + C #

Możemy połączyć wszystkie #DO#s, aby utworzyć jedną stałą stałą:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + C #

Otrzymaliśmy wstępny warunek #u (0) = - 5 # więc:

# (- 5) ^ 2 = (0) ^ 2 + tan (0) + C #

# 25 = C #

Tak więc rozwiązanie jest # u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Odpowiedź:

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #

Wyjaśnienie:

Grupowanie zmiennych

# 2 u du = (2t + sec ^ 2 (t)) dt #

Integracja obu stron

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan (t) + C #

#u (t) = pm sqrt (t ^ 2 + tan (t) + C) #

ale biorąc pod uwagę warunki początkowe

#u (0) = -sqrt (C) = -5-> C = 25 #

i w końcu

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #