Co jest integralną częścią int tan ^ 4x dx?

Odpowiedź:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Wyjaśnienie:

Rozwiązywanie pierwotnych trygonometrów zazwyczaj polega na zerwaniu całki w dół, aby zastosować tożsamości Pitagorasa, a za pomocą a # u #-podstawienie. Dokładnie to zrobimy tutaj.

Zacznij od przepisania # inttan ^ 4xdx # tak jak # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Teraz możemy zastosować tożsamość pitagorejską # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #lub # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Dystrybucja # tan ^ 2x #:

#color (biały) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Zastosowanie reguły sumy:

#color (biały) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Ocenimy te całki po kolei.

Pierwsza integralność

Ten jest rozwiązany za pomocą # u #-podstawienie:

Pozwolić # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Zastosowanie zmiany, #color (biały) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (biały) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Bo # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Druga integralność

Ponieważ tak naprawdę nie wiemy co # inttan ^ 2xdx # patrząc na to, spróbuj zastosować # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # tożsamość ponownie:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Używając reguły sumy, całka sprowadza się do:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

Pierwszy z nich, # intsec ^ 2xdx #, jest tylko # tanx + C #. Druga, tak zwana „integralność doskonała”, jest prosta # x + C #. Łącząc wszystko, możemy powiedzieć:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

I ponieważ # C + C # jest po prostu inną dowolną stałą, możemy połączyć ją w ogólną stałą #DO#:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Łącząc te dwa wyniki, mamy:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Ponownie, ponieważ # C + C # jest stałą, możemy połączyć je w jedną #DO#.