Jakie jest równanie linii, która jest normalna do krzywej polarnej f (theta) = - 5the-sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) w theta = Liczba Pi?

Jakie jest równanie linii, która jest normalna do krzywej polarnej f (theta) = - 5the-sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) w theta = Liczba Pi?
Anonim

Odpowiedź:

Linia jest #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Wyjaśnienie:

Ten molekuł równania pochodzi z nieco długiego procesu. Najpierw przedstawię kroki, według których będzie kontynuowana derywacja, a następnie wykonam te kroki.

Otrzymujemy funkcję we współrzędnych biegunowych, #f (theta) #. Możemy wziąć pochodną, #f '(theta) #, ale aby faktycznie znaleźć linię we współrzędnych kartezjańskich, będziemy potrzebować # dy / dx #.

Możemy znaleźć # dy / dx # za pomocą następującego równania:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Następnie podłączymy to nachylenie do standardowego formularza linii kartezjańskiej:

#y = mx + b #

I wstaw kartezjańskie przekonwertowane współrzędne biegunowe naszego punktu zainteresowania:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Kilka rzeczy, które powinny być natychmiast oczywiste i pozwolą nam zaoszczędzić czas. Bierzemy linię styczną do punktu #theta = pi #. To znaczy że #sin (theta) = 0 # więc…

1) Nasze równanie dla # dy / dx # będzie w rzeczywistości:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Nasze równania dla współrzędnych kartezjańskich naszego punktu staną się:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Zaczynając rozwiązywać problem, naszym pierwszym zleceniem jest znalezienie #f '(theta) #. To nie jest trudne, tylko trzy łatwe pochodne z regułą łańcucha stosowane do dwóch:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Teraz chcemy wiedzieć #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

I #f '(pi) #

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sek ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Mając je pod ręką, jesteśmy gotowi określić nasze nachylenie:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Możemy to podłączyć jako # m # w #y = mx + b #. Przypomnij sobie, że wcześniej to ustaliliśmy # y = 0 # i #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Możemy połączyć nasze wcześniej ustalone # m # z naszym nowo ustalonym #b# podać równanie dla linii:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #