Jak rozwiązać rozdzielne równanie różniczkowe i znaleźć konkretne rozwiązanie spełniające warunek początkowy y ( 4) = 3?

Odpowiedź:

Ogólne rozwiązanie: #color (czerwony) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Szczególne rozwiązanie: #color (niebieski) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Wyjaśnienie:

Z podanego równania różniczkowego #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

zauważ to #y '(x) = dy / dx # i #y (x) = y #, w związku z tym

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

podziel obie strony według #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Pomnóż obie strony przez # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

transponować # dx # po lewej stronie

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

integrując po obu stronach mamy następujące wyniki

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (czerwony) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Ogólne rozwiązanie

Ale #y (-4) = 3 # znaczy kiedy # x = -4 #, # y = 3 #

Możemy teraz rozwiązać # C_1 # rozwiązać dla konkretnego rozwiązania

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Dlatego nasze szczególne rozwiązanie to

#color (niebieski) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Niech Bóg błogosławi … Mam nadzieję, że wyjaśnienie jest przydatne.

Odpowiedź:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, z #y> = - 13/4 #.

Wyjaśnienie:

#y> = - 13/4 #, robić #sqrt (4y + 13) # real..

Zmiana układu, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Więc, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Za pomocą #y = 3, gdy x = -4, C = -`13 / 2 #

Więc. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Odwrotnie. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #