Jak mogę rozwiązać to równanie różniczkowe?

Odpowiedź:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Wyjaśnienie:

To jest oddzielne równanie różniczkowe, co oznacza po prostu, że można pogrupować # x # warunki & # y # terminy po przeciwnych stronach równania. Tak właśnie będziemy robić najpierw:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Teraz chcemy się dostać dy z boku z y, a dx z boku z x. Musimy trochę zmienić układ:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Teraz integrujemy obie strony:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Zróbmy kolejno każdą całkę:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Najpierw podzielmy to na dwie oddzielne całki za pomocą reguły dodawania / odejmowania:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Wyglądają trochę denerwująco. Jednak możemy dać im trochę zmiany, aby wyglądały ładniej (i dużo łatwiejsze do rozwiązania):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Oba są teraz proste # u #- całki podstawienia. Jeśli ustawisz #u = -x # i # -3x # otrzymasz odpowiedź jako:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Jeśli zrobimy dodatni ujemny wykładnik, otrzymamy:

#int (ye ^ y) dy #

W tym celu musimy użyć integracji według części. Wzór to:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Będziemy ustawiać #u = y #, i #dv = e ^ y dy #. Powodem jest to, że chcemy łatwego # du # dla tej ostatecznej integracji, a także dlatego, że # e ^ y # jest bardzo łatwy do integracji.

Więc:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Teraz po prostu podłączamy i chugujemy:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Wstawiając wszystko z powrotem:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Pozbywanie się negatywnych wykładników:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

A to całkiem przyzwoita ostateczna odpowiedź. Jeśli chcesz rozwiązać # y #, mógłbyś i skończyłbyś z

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Zauważ, że nie mamy # + C # na LHS tego równania. Powodem tego jest to, że nawet gdybyśmy to umieścili, ostatecznie odejmowalibyśmy to od RHS, a dowolna stała minus arbitralna stała jest wciąż (na nią) dowolną stałą. Stąd te problemy, o ile masz # + C # po jednej stronie równania będzie dobrze.

Mam nadzieję, że to pomogło:)