Jak rozwiązać tę integralną? - Rachunek Różniczkowy 2024

Odpowiedź:

#int („d” x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #

Wyjaśnienie:

#int („d” x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) #

Zróbmy teraz częściowe ułamki. Zakładać, że

# 1 / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / (x -1) ^ 2 #

dla niektórych stałych # A, B, C, D #.

Następnie, # 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 #

Rozwiń, aby uzyskać

# 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + D-A) x ^ 2 + (2D-2B-A-C) x + A + B-C + D #.

Równoważne współczynniki:

# {(A + C = 0), (B + C + D-A = 0), (2D-2B-A-C = 0), (A + B-C + D = 1):} #

Rozwiązywanie daje # A = B = D = 1/4 # i # C = -1 / 4 #.

Tak więc naszą oryginalną całką jest

#int (1 / (4 (x + 1)) + 1 / (4 (x + 1) ^ 2) -1 / (4 (x-1)) + 1 / (4 (x-1) ^ 2)) „d” x #

# = 1 / 4ln (x + 1) -1 / (4 (x + 1)) - 1 / 4ln (x-1) -1 / (4 (x-1)) + C #

Uproszczać:

# = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #

Jak znaleźć integralną intln (2x + 1) dx?

Przez podstawienie i integrację przez części, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Spójrzmy na niektóre szczegóły. int ln (2x + 1) dx przez podstawienie t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt przez Integration by Parts, Niech u = ln t i dv = dt Rightarrow du = dt / t v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C przez faktoring z t, = 1 / 2t (lnt-1) + C przez wstawienie t = 2x + 1 z powrotem, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C

Co to jest niewłaściwa integralna? + Przykład

Określona całka w przedziale [a, b] f jest początkowo zdefiniowana dla funkcji f, która zawiera [a, b] w swojej domenie. To znaczy: zaczynamy od funkcji f, która jest zdefiniowana dla wszystkich xw [a, b] Nieprawidłowe całki rozszerzają początkową definicję, pozwalając, aby a, lub b, lub oba, znajdowały się poza domeną f (ale na „krawędzi” więc możemy szukać limitów) lub przedziału, w którym brakuje lewego i / lub prawego punktu końcowego (nieskończone interwały). Przykłady: int_0 ^ 1 lnx dx kolor (biały) „sssssssssss” integrand nie zdefiniowano w 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ 2-25) dx kolor (biały) „ssssss” int

Co jest integralną częścią int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Rozwiązywanie pierwotnych trygonometrów zazwyczaj polega na zerwaniu całki w dół w celu zastosowania tożsamości pitagorejskich, a przy użyciu podstawienia u. Dokładnie to zrobimy tutaj. Zacznij od przepisania inttan ^ 4xdx jako inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Teraz możemy zastosować tożsamość pitagorejską tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x lub tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Dystrybucja tan ^ 2x : kolor (biały) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Zastosowanie reguły sumy: kolor (biały) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Ocenimy te całki po kolei. Pierws