Bez użycia funkcji rozwiązywania kalkulatora, jak rozwiązać równanie: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Odpowiedź:

Zera są # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Wyjaśnienie:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Powiedziano nam to # (x-5) # jest czynnikiem, więc oddziel go:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Powiedziano nam to # (x + 2) # jest również czynnikiem, więc oddziel to:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Rozróżnienie pozostałego czynnika kwadratowego jest ujemne, ale wciąż możemy użyć formuły kwadratowej, aby znaleźć korzenie złożone:

# x ^ 2-2x + 3 # jest w formie # ax ^ 2 + bx + c # z # a = 1 #, # b = -2 # i # c = 3 #.

Korzenie są podane przez kwadratową formułę:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Spróbujmy nie wiedząc o tym # (x-5) # i # (x + 2) # są czynniki.

Stały termin jest równy produktowi root, więc

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Ten współczynnik jest liczbą całkowitą, której czynnikami są #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Próbując tych wartości, widzimy to

#p (-2) = p (5) = 0 # uzyskanie dwóch korzeni.

Możemy reprezentować wielomian jako

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Obliczamy prawą stronę i porównujemy obie strony, które otrzymujemy

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Rozwiązanie dla # (a, b) # dostajemy # a = -2, b = 3 #

Ocena korzeni # x ^ 2-2x + 3 = 0 # dostajemy # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #