Jaka jest długość łuku r (t) = (t, t, t) na cynie [1,2]?

Odpowiedź:

#sqrt (3) #

Wyjaśnienie:

Szukamy długości łuku funkcji wektorowej:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # dla #t w 1,2 #

Które możemy łatwo ocenić za pomocą:

# L = int_alpha ^ beta bb (ul (r ') (t)) || dt #

Więc obliczamy pochodną, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

W ten sposób zyskujemy długość łuku:

# L = int_1 ^ 2 << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Ten trywialny wynik nie powinien dziwić, ponieważ podane pierwotne równanie jest równaniem prostej.

Jaka jest długość łuku r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) na cynie [1, ln2]?

Długość łuku ~~ 2.42533 (5dp) Długość łuku jest ujemna ze względu na to, że dolna granica 1 jest większa niż górna granica ln2 Mamy funkcję wektora parametrycznego, podaną przez: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Aby obliczyć długość łuku, będziemy potrzebować pochodnej wektora, którą możemy obliczyć za pomocą reguły produktu: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Następnie obliczamy wielkość wektora pochodnego: | bb

Dziecko huśta się na huśtawce na placu zabaw. Jeśli długość huśtawki wynosi 3 m, a dziecko huśta się pod kątem pi / 9, jaka jest dokładna długość łuku, przez którą dziecko podróżuje?

Długość łuku = 22 / 21m Biorąc to pod uwagę, rarrradius = 3m rarrtheta = pi / 9 rarrarc length (l) =? Mamy rarrtheta = l / r rarrpi / 9 = l / 3 rarrl = (3pi) / 9 = pi / 3 = 22 / (7 * 3) = 22/21

Gwiazda A ma paralaksę 0,04 sekundy łuku. Gwiazda B ma paralaksę 0,02 sekundy łuku. Która gwiazda jest bardziej oddalona od słońca? Jaka jest odległość od gwiazdy A od słońca, w parsekach? dzięki?

Gwiazda B jest bardziej odległa, a jej odległość od Słońca wynosi 50 parseków lub 163 lata świetlne. Związek między odległością gwiazdy a jej kątem paralaksy jest określony przez d = 1 / p, gdzie odległość d jest mierzona w parsekach (równa 3,26 lat świetlnych), a kąt paralaksy p jest mierzony w sekundach łuku. Stąd Gwiazda A znajduje się w odległości 1 / 0,04 lub 25 parseków, podczas gdy Gwiazda B znajduje się w odległości 1 / 0,02 lub 50 parseków. Stąd Gwiazda B jest bardziej odległa, a jej odległość od Słońca wynosi 50 parseków lub 163 lata świetlne.